Sách điện từ/Phương trình Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

• Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
• Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
• Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
• Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Phương trình Maxwell

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu bằng chữ đậm là vectơ, trong khi đó những ký hiệu in nghiêng là vô hướng.

Tên	Phương trình vi phân riêng phần	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$	${\oint }_S𝐃\cdot d𝐀=\underset{V}{\int }\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	${\oint }_S𝐁\cdot d𝐀=0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_C𝐄\cdot d𝐥=-\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐀=-\frac{d\varphi }{dt}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$	${\oint }_C𝐇\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }𝐉\cdot d𝐀+\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐃\cdot d𝐀={\mu }_{o}I+{ϵ}_o{\mu }_o\frac{d{\varphi }_E}{dt}$

Hay

Tên	Phương trình vi phân riêng phần	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{ϵ}_o}$	${\oint }_S𝐄\cdot d𝐀=\frac{Q}{{ϵ}_o}$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	${\oint }_S𝐁\cdot d𝐀=0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_C𝐄\cdot d𝐬=-\frac{d\varphi }{dt}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_{o}J+{ϵ}_o{\mu }_o\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$	$\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐬={\mu }_{o}I+{ϵ}_o{\mu }_o\frac{d{\varphi }_E}{dt}$

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Ký hiệu	Ý nghĩa	Đơn vị trong hệ SI
$𝐄$	Cường độ điện trường	volt / mét
$𝐇$	Cường độ từ trường	ampere / mét
$𝐃$	Độ điện dịch (Điện cảm)	coulomb / mét vuông
$𝐁$	Vectơ cảm ứng từ	tesla, weber / mét vuông
$\rho$	Mật độ điện tích,	coulomb / mét khối
$𝐉$	Mật độ dòng điện,	ampere / mét vuông
$d𝐀$	Vectơ vi phân diện tích A, có hướng vuông góc với mặt S	mét vuông
$dV$	Vi phân của thể tích V được bao bọc bởi diện tích S	mét khối
$d𝐥$	Vectơ vi phân của đường cong, tiếp tuyến với đường kính C bao quanh diện tích S	mét
$\mathrm{\nabla }\cdot$ (còn gọi là div)	toán tử tính suất tiêu tán: $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{a}}=(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z})$	trên mét
$\mathrm{\nabla }\times$ (còn gọi là rot)	toán tử tính độ xoáy cuộn của trường vectơ.	trên mét

Các đại lượng D và B liên hệ với E và H bởi:

$𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏=(1+{\chi }_e){\epsilon }_0𝐄=\epsilon 𝐄$

$𝐁={\mu }_0(𝐇+𝐌)=(1+{\chi }_m){\mu }_0𝐇=\mu 𝐇$

trong đó:

${\chi }_e$ là hệ số cảm ứng điện của môi trường,

${\chi }_m$ là hệ số cảm ứng từ của môi trường,

ε là hằng số điện môi của môi trường, và

μ là hằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerr và hiệu ứng Pockels.)

Trong môi trường tuyến tính

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi:

$𝐏={\chi }_e{\epsilon }_0𝐄$

$𝐌={\chi }_m𝐇$

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và đẳng hướng (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành:

$\mathrm{\nabla }\cdot \epsilon 𝐄=\rho$

$\mathrm{\nabla }\cdot \mu 𝐇=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\mu \frac{\partial 𝐇}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\epsilon \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là tensor hạng 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào tần số ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig.

Trong chân không

Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε₀ và μ₀ (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

$𝐃={\epsilon }_0𝐄$

$𝐁={\mu }_0𝐇$

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐇=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-{\mu }_0\frac{\partial 𝐇}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là:

$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$

Ký hiệu	Tên	Giá trị	Đơn vị trong hệ SI
$c$	Vận tốc ánh sáng	$2.998\times 10^8$	mét trên giây
${\epsilon }_0$	Độ điện thẩm chân không	$8.854\times 10^{-12}$	fara / mét
${\mu }_0$	Độ từ thẩm chân không	$4\pi \times 10^{-7}$	henry / mét