Định luật Gauss

Trong vật lý và giải tích toán học, định luật Gauss được công thức hóa bởi Carl Friedrich Gauss vào năm 1835, nhưng không công bố cho đến năm 1867 được dùng trong việc tính toán /Điện trường/ và /Từ trường/ của Điện tích

Định luật Gauss về Điện trường

Công thức tích phân

Dưới dạng tích phân, Mật độ Điện trường được viết như sau

$\mathrm{\Phi }=EA={\oint }_S𝐄\cdot d𝐀=\frac{1}{{ϵ}_o}\underset{V}{\int }\rho dV=\frac{Q_A}{{ϵ}_o}$

Với

$\mathrm{\Phi }$ là thông lượng điện,

$𝐄$ là điện trường,

$d𝐀$ là diện tích của một hình vuông vi phân trên mặt đóng S,

$Q_{\mathrm{A}}$ là điện tích được bao bởi mặt đó,

$\rho$ là mật độ điện tích tại một điểm trong $V$,

${ϵ}_o$ là hằng số điện của không gian tự do

${\oint }_S$ là tích phân trên mặt S bao phủ thể tích V.

Xem thêm thông tin và cách áp dụng định luật Gauss ở mặt Gaussian.

Công thức vi phân

Dưới dạng vi phân, phương trình trở thành:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$

Với

$\mathrm{\nabla }$ là toán tử div,

D là cảm ứng điện trường (đơn vị C/m²),

ρ là mật độ điện tích (đơn vị C/m³), không tính đến các điện tích lưỡng cực biên giới trong vật chất. Dạng vi phân được viết dưới dạng định lý Gauss.

Đối với vật chất tuyến tính, phương trình trở thành:

$\mathrm{\nabla }\cdot ϵ𝐄=\rho$

với $ϵ$ là hằng số điện môi.

Ứng dụng

Một điện tích Q đặt ở tâm một mặt cầu bán kính r, vector cường độ điện trường trên bề mặt cầu vuông góc với bề mặt, cùng cường độ điện lượng ở mọi điểm trên mặt cầu đó được tính như sau

$E=\frac{Q}{ϵA}=\frac{Q}{{ϵ}_{0}4\pi r^2}$

Với

E là cường độ điện trường tại bán kính r,

Q là điện tích bao quanh

ε₀ là hằng số điện.

Định luật Gauss có thể được sử dụng để chứng tỏ rằng không có điện trường bên trong một lồng Faraday không có điện tích nào.

Định luật Gauss về Từ trường

Công thức tích phân

${\mathrm{\Phi }}_B=BA=\int BdA=\mu I$

Từ trên,

Cường độ Từ trường

$H=\frac{I}{A}=\frac{B}{\mu }$

Mật độ Từ trường

$BA=\mu I$