Phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm là một phương trình toán giải tích dùng để biểu thi phương trình sóng . Thí dụ như phuơng trình sóng sin đều và không đều , sóng lùy thừa suy giảm

Phương trình đạo hàm bậc n

Dạng tổng quát

$a\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)+bf(x)=0$

Cách giải

$s^{n}f(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$

$s^n=-\frac{b}{a}$

$s=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$

$f(x)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2

Ứng dụng

Đại diện cho phương trình sóng sin

Phương trình đạo hàm bậc 2

Dạng tổng quát 1

$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+cf(x)=0$

Ứng dụng

Đại diện cho phương trình sóng sin

Dạng tổng quát 2

$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+b\frac{d}{dx}f(x)+cf(x)=0$

Ứng dụng

Đại diện cho phương trình sóng sin không đều

Phương trình đạo hàm bậc 1

Dạng tổng quát

$a\frac{d}{dx}f(x)+bf(x)=0$

Cách giải

$sf(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$

$s=-\frac{b}{a}$

$f(x)=A{e}^{sx}=A{e}^{-\frac{b}{a}x}=A{e}^{-\alpha x}$

Ứng dung

Phương trình sóng lũy thừa suy giảm

Phương trình Điện từ Maxwell

Các phương trình nguyên bản của Maxwell được viết lại bởi Oliver Heaviside và Willard Gibbs vào năm 1884 dưới dạng các phương trình vectơ. Sự thay đổi này diễn tả được tính đối xứng của các trường trong cách biểu diễn toán học. Những công thức có tính đối xứng này là nguồn gốc hai bước nhảy lớn trong vật lý hiện đại đó là thuyết tương đối hẹp và vật lý lượng tử.

Phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

• Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
• Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
• Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
• Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Tên	Dạng phương trình vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$	${\oint }_S𝐃\cdot d𝐀=\underset{V}{\int }\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	${\oint }_S𝐁\cdot d𝐀=0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_C𝐄\cdot d𝐥=-\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐀$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$	${\oint }_C𝐇\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }𝐉\cdot d𝐀+\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐃\cdot d𝐀$

Phương trình sóng điện từ Laplace

Phương trình vector trường điện từ

Dao động điện từ được Maxwell biểu diển dưới dạng 4 phương trình vector đạo hàm của 2 trường Điện trường, E và Từ trường, B

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=0$
$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{1}{T}E$
$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0$
$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}=-\frac{1}{T}B$
$T=\mu ϵ$

Phương trình Sóng điện từ

Dùng phép toán

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\times E)=\mathrm{\nabla }(-\frac{1}{T}E)={\mathrm{\nabla }}^{2}E$

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\times B)=\mathrm{\nabla }(-\frac{1}{T}B)={\mathrm{\nabla }}^{2}B$

Cho một Phương trình sóng điện từ

${\mathrm{\nabla }}^{2}E=-\beta E$

${\mathrm{\nabla }}^{2}B=-\beta B$

$\beta =\frac{1}{T}=\frac{1}{\mu ϵ}$