Sách toán ma trận/Ma trận

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật– các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột – mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục.

Thí dụ

Ma trận có 2 hàng và 3 cột. $\left[\begin{array}{ccc}1& 9& -13\\ 20& 5& -6\end{array}\right].$

Ký hiệu

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông:

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right].$

Một cách ký hiệu khác là sử dụng dấu ngoặc đơn lớn thay cho dấu ngoặc vuông:

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(a_{ij}\right)\in {ℝ}^{m\times n}.$

Kích thước

Kích thước hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Tên gọi	Độ lớn	Ví dụ	Miêu tả
Vectơ hàng	1 × n	$\left[\begin{array}{ccc}3& 7& 2\end{array}\right]$	Ma trận có một hàng, được dùng để biểu diễn một vectơ
Vectơ cột	n × 1	$\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right]$	Ma trận có một cột, được dùng để biểu diễn một vectơ
Ma trận vuông	n × n	$\left[\begin{array}{ccc}9& 13& 5\\ 1& 11& 7\\ 2& 6& 3\end{array}\right]$	Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn phép biến đổi tuyến tính từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt.

Loại ma trận

Ma trận con

Ma trận con của một ma trận nhận được bằng cách xóa bất kỳ các hàng và các cột.<ref>Ma trận con được ký hiệu là M_ij với i là dòng bị xóa, j là cột bị xóa. Ví dụ, từ ma trận 3 x 4, chúng ta có thể tạo ra ma trận con 2x3 bằng cách xóa hàng 3 và cột 2:

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 5& 7& 8\end{array}\right].$

Định thức con và phần phụ đại số của ma trận tìm được bằng cách tính định thức của những ma trận con nhất định.

Ma trận con chính là một ma trận con vuông thu được bằng cách xóa đi một số hàng và cột. Mỗi tác giả có một cách định nghĩa khác nhau. Theo một số tác giả, ma trận con chính là một ma trận con mà tập chỉ số hàng còn lại bằng tập chỉ số cột còn lại. Một số tác giả khác định nghĩa ma trận con chính là một trong những ma trận con có k hàng và cột đầu tiên, đối với một số giá trị k, là những ma trận còn lại sau khi xóa hàng hoặc/và cột; loại ma trận con này còn được gọi là ma trận con chính trước (leading principal submatrix).

Các phép toán ma trận

Có một số phép toán cơ bản tác dụng lên ma trận, bao gồm cộng ma trận, nhân một số với ma trận, chuyển vị, nhân hai ma trận, phép toán hàng, và ma trận con.

Tổng 2 ma trân

Tổng A+B của hai ma trận cùng kích thước m-x-n A và B được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận:

Công thức

(A + B)_i,j = A_i,j + B_i,j, với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ n.

Thí dụ

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 3+0& 1+5\\ 1+7& 0+5& 0+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 8& 5& 0\end{array}\right]$

Tích 2 ma trận

Tích cA của số c (cũng được gọi là vô hướng trong đại số trừu tượng) với ma trận A được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của A với c

Công thức

Bản mẫu:Nowrap begin(cA)_i,j = c • A_i,j.Bản mẫu:Nowrap end

Phép toán này được gọi là nhân vô hướng, nhưng không nên nhầm lẫn với khái niệm "tích vô hướng" hay "tích trong".

Thí dụ

$2\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\cdot 1& 2\cdot 8& 2\cdot -3\\ 2\cdot 4& 2\cdot -2& 2\cdot 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$

Chuyển vị

Chuyển vị của ma trận m-x-n A là ma trận n-x-m A^T (cũng còn ký hiệu là A^tr hay ^tA) tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng

Công thức

Bản mẫu:Nowrap begin(A^T)_i,j = A_j,i.Bản mẫu:Nowrap end

Thí dụ

${\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -6& 7\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -6\\ 3& 7\end{array}\right]$