Sách toán/Số đại số/Hằng số e

Hằng số e hay Hằng số Euler là một hằng số đại số có giá trị không đổi bằng 2.71828

$e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995....$

Cách tính giá trị hằng số e

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots .=1+1+0.5+0.166666$

Tính chất

Đạo hàm e

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$

$\frac{d}{dx}Lo{g}_{e}x=\frac{d}{dx}Lnx=\frac{1}{x}$

Lũy thừa e

Công thức Euler

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

Từ đó, ta có

$e^{i\pi }=-1$

$e^{i\pi }+1=0$

Hoán chuyển tích phân

Hoán chuyển Laplace, Fourier

Hoán huyển	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
$f(t)$	$F(s)=\int f(t)e^{-st}dt$	$F(j\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$
$\frac{d^n}{d{t}^n}$	$s^n$	$j{\omega }^n$
$\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)$	$s^{n}f(t)$	$j{\omega }^{n}f(t)$

Giải phương trình đạo hàm

$a\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)+bf(t)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace

$s^{n}f(t)=-\frac{b}{a}f(t)$

$s^n=-\frac{b}{a}$

$s=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}=\pm j\sqrt[n]{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$

$f(t)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=sin\omega t$

$\omega =\sqrt[n]{\frac{b}{a}}$

n ≥ 2

n = 2 , xanh dương . n > 2 , đỏ