Sách toán/Phương trình đại số

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

$f(x)=0$

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình $f(x)=0$

Thí dụ

$2x+5=0$

$2xy+5=z$

$x^2+4x-12=0$

Giải phương trình đại số

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình

Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình

$2x+4=6$

$2x=6-4=2$

$x=2/2=1$

Giải phương trình đường thẳng

Dạng tổng quát

$ax+b=0$

Giải phương trình

$ax+b=0$

$x+\frac{b}{a}=0$

Nghiệm số phương trình

$x=-\frac{b}{a}$

Giải phương trình đường tròn

Phương trình hình tròn hệ số thực

Dạng tổng quát

$X^2+Y^2=0$

Giải phương trình

$X=\sqrt{-Y^2}=\pm jY$

$Y=\sqrt{-X^2}=\pm jX$

Phương trình hình tròn hệ số phức

Dạng tổng quát

$X+jY=0$

Giải phương trình

$X=-jY$

$jY=-X$

$Y=jX$

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình	Đô thị
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+\frac{b}{a}=0$ $x=-\frac{b}{a}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$ $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. ${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $a{x}^n+b=0$ $a{x}^n=-b$ $x^n=-\frac{b}{a}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_o=0$

Giải phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính có dạng tổng quát

$a_0{x}_0+a_1{x}_1+...+a_n{x}_n=A$

Giải hệ phương trình tuyến tính trực tiếp

Với hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

$x+\frac{b}{a}y=\frac{c}{a}$

$x+\frac{e}{d}y=\frac{f}{d}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})\times y=(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})$

Tìm giá trị nghiệm số y

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

$\frac{a}{b}x+y=\frac{c}{b}$

$\frac{d}{e}x+y=\frac{f}{e}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})\times x=(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})$

Tìm giá trị nghiệm số y

Vậy, hệ phương trình đường thẳng

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Có nghiệm 2 nghiệm số

$x=\frac{(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})}{(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})}$

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Thí dụ

$2x+3y=4$

$5x+6y=7$

Thế $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7$ vào

$x=\frac{(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})}{(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})}$

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Ta có

$x=\frac{(\frac{4}{3}-\frac{7}{6})}{(\frac{2}{3}-\frac{5}{6})}=\frac{3}{6}/-\frac{3}{6}=-1$

$y=\frac{(\frac{4}{2}-\frac{7}{5})}{(\frac{3}{2}-\frac{6}{7})}=\frac{6}{10}/\frac{3}{14}=\frac{84}{30}$

Giải phương trình bằng ma trận

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right].$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$$\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right].$

Tìm định thức ma trận Định thức của A

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

det(A)=ad-bc.

Định thức của X

$A=\left[\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right]$

det(X)=ed-bf.

Định thức của Y

$Y=\left[\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right]$

det(A)=af-cd.

Tìm nghiệm số

$x=\frac{X}{A};y=\frac{Y}{A}$.

$x=\frac{ed-bf}{ad-bc};y=\frac{af-ce}{ad-bc}$.