Sách toán/Phép toán số đại số

Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
/Toán cộng/	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
/Toán trừ/	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
/Toán nhân/	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
/Toán chia/	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
/Toán lũy thừa/	$a^n$	$a^n=a\times a\times a...$ a nhân với chính nó n lần	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
/Toán căn/	$\sqrt{}$	$\sqrt{a}=b$ nếu có $b^n=a$	Toán lủy thừa nghịch
/Toán log/	$Log,Ln$	$Loga=b$ Nếu có $10^b=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Công thức toán đại số

Toán bội số

• $na+ma=a(n+m)$

$na+nb=n(a+b)$

• $na-ma=a(n-m)$

$na-nb=n(a-b)$

• $na\times ma=a^2(n\times m)$

$na\times nb=nmab$

• $\frac{na}{ma}=\frac{n}{m}$

$\frac{na}{nb}=\frac{a}{b}$

Số 0

Toán cộng	$0+\pm a=\pm a$
Toán trừ	$0-\pm a=\mp a$
Toán nhân	$0\times \pm a=0$
toán chia	$0/\pm a=0$

Số nguyên dương

Toán cộng	$a+a=2a$ $a+0=a$
Toán trừ	$a-a=0$ $a-0=a$
Toán nhân	$a\times a=a^2$ $a\times 1=a$ $a\times 0=0$
Toán chia	$a/a=1$ $a/1=a$ $a/0=00$
Toán lũy thừa	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a...$ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ $a^{\frac{1}{n}}=n\sqrt{a}$
Toán căn	$n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$ $\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ $\sqrt[n]{ab}$ = $\sqrt[n]{a}$ $\sqrt[n]{b}$ $a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$ $\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$
Toán Log	$Log10^n=n$ ${\log }_b(ac)={\log }_b(a)+{\log }_b(c)$ ${\log }_b(a/c)={\log }_b(a)-{\log }_b(c)$ ${\log }_b(b^a)=a$ ${\log }_b(a)=\frac{{\log }_d(a)}{{\log }_d(b)}$ for any $d>0,d<>1$ ${\log }_b(y^a)=a{\log }_b(y)$

Số nguyên âm

Toán cộng	$-a+(-a)=-2a$ $-a+0=-a$
Toán cộng	$-a-(-a)=0$ $-a-0=-a$
Toán nhân	$-a\times (-a)=a^2$ $-a\times 1=-a$ $-a\times 0=0$
Toán chia	$-a/(-a)=1$ $-a/1=-a$ $-a/0=00$
Toán lũy thừa	$(-a{)}^0=1$ $(-a{)}^n=-a^n$ Vói $n=2m+1$ $(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$
Toán căn	$\sqrt{-a}=\pm j\sqrt{a}$

Toán phân số

Phép toán chia hết	Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi $a=bc$ . Vậy $b=\frac{a}{c}$ a không chia hết cho b khi $a=bc+r$ . Vậy $b=\frac{a}{c}-\frac{r}{c}$
So sánh phân số	Với hai phân số $\frac{a}{b}$ và$\frac{c}{d}$ Hai phân số bằng nhau khi $a=c$ $b=d$ Hay $\frac{ad}{bd}=\frac{bc}{bd}$ $ad=bc$ Hai phân số không bằng nhau khi $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$
Toán cộng , trừ, nhân, chia	$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$ $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ $\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^2=-1$ $\frac{j}{j}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^2=1$ $\frac{j}{-j}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^0=1$ $j^1=j$ $j^2=-1$ $j^3=-j$ Từ trên, ta có $j^n=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^n=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j{)}^0=1$ $(-j{)}^1=-j$ $(-j{)}^2=-1$ $(-j{)}^4=j$ Từ trên, ta có $(-j{)}^n=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j{)}^n=\pm j$ với $n=2m+1$

Toán số phức

Với 2 số phức thuận nghịch

Số phức thuận	$Z=(a+ib)$	$Z\mathrm{\angle }\theta$	$Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )$	$Z{e}^{j\theta }$
Số phức nghịch	$Z=(a-ib)$	$Z\mathrm{\angle }-\theta$	$Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )$	$Z{e}^{-j\theta }$
+	$2a$	$Z(\mathrm{\angle }\theta +\mathrm{\angle }-\theta )$	$2Z\cos \theta$	$Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$
-	$i2b$	$Z(\mathrm{\angle }\theta -\mathrm{\angle }-\theta )$	$i2Z\sin \theta$	$Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$
x	$a^2-b^2$	$Z^2\mathrm{\angle }0$	$Z^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$	$Z^{2}e$
/	$\frac{a^2-b^2}{a-ib}$	$1\mathrm{\angle }2\theta$	$\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}$	$e^{j2\theta }$
$({)}^n$	$(a+ib{)}^n$	Định luật De Moive $(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$		$[e^{j\theta }{]}^n=e^{jn\theta }$

Toán lũy thừa

Lủy thừa không	$a^0=1$
Lủy thừa 1	$a^1=a$
Lủy thừa của số không	$0^n$
Lủy thừa của số 1	$1^n=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac{m}{n}}=n\sqrt{a^m}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$. $(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a{)}^n=a^n$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab{)}^m=a^m\times b^m$
Lủy thừa của thương hai số	$(\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{a^n}$
Lủy thừa của căn	$(\sqrt{a^n}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^m+a^n=a^m(1+a^{n-m})$ $a^m-a^n=a^m(1-a^{n-m})$ $a^m\times a^n=a^{m+n}$ $a^m/a^n=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)}}=a^n+C_{n-1}{a}^{n-1}b+...+C_{1}a{b}^{n-1}+b^n$ $(a+b{)}^0=1$ $(a+b{)}^1=a+b$ $(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)=a^2+2ab+b^2$ $(a+b{)}^3=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)}}$ $(a-b{)}^0=1$ $(a-b{)}^1=a+b$ $(a-b{)}^2=(a-b)\times (a-b)=a^2-2ab+b^2$ $(a-b{)}^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^2-b^2=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

Toán căn

Căn và lủy thừa	$n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$
Căn của số nguyên	$\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$
Căn lủy thừa	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$
Căn thương số	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Căn tích số	$\sqrt{ab}$ = $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$
Vô căn	$a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$
Ra căn	$\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$

Toán log

Toán Log	$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$
Viết tắc	$Log=Lo{g}_{10}$ $Ln=Lo{g}_2$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Lo{g}_n(A{)}^n=A$
Lũy thừa log	$B^{Lo{g}_B(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log(\frac{A}{B})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^n)=nLogA$
Đổi nền log	$Lo{g}_{a}x=\frac{Logx}{Loga}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết	Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi $a=bc$ . Vậy $b=\frac{a}{c}$ a không chia hết cho b khi $a=bc+r$ . Vậy $b=\frac{a}{c}-\frac{r}{c}$
So sánh phân số	Với hai phân số $\frac{a}{b}$ và$\frac{c}{d}$ Hai phân số bằng nhau khi $a=c$ $b=d$ Hay $\frac{ad}{bd}=\frac{bc}{bd}$ $ad=bc$ Hai phân số không bằng nhau khi $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$
Toán cộng , trừ, nhân, chia	$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$ $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ $\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Phép toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^2=-1$ $\frac{j}{j}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^2=1$ $\frac{j}{-j}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^0=1$ $j^1=j$ $j^2=-1$ $j^3=-j$ Từ trên, ta có $j^n=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^n=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j{)}^0=1$ $(-j{)}^1=-j$ $(-j{)}^2=-1$ $(-j{)}^4=j$ Từ trên, ta có $(-j{)}^n=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j{)}^n=\pm j$ với $n=2m+1$

Phép toán số phức

Với 2 số phức thuận nghịch

Số phức thuận	$Z=(a+ib)$	$Z\mathrm{\angle }\theta$	$Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )$	$Z{e}^{j\theta }$
Số phức nghịch	$Z=(a-ib)$	$Z\mathrm{\angle }-\theta$	$Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )$	$Z{e}^{-j\theta }$
+	$2a$	$Z(\mathrm{\angle }\theta +\mathrm{\angle }-\theta )$	$2Z\cos \theta$	$Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$
-	$i2b$	$Z(\mathrm{\angle }\theta -\mathrm{\angle }-\theta )$	$i2Z\sin \theta$	$Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$
x	$a^2-b^2$	$Z^2\mathrm{\angle }0$	$Z^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$	$Z^{2}e$
/	$\frac{a^2-b^2}{a-ib}$	$1\mathrm{\angle }2\theta$	$\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}$	$e^{j2\theta }$
$({)}^n$	$(a+ib{)}^n$	Định luật De Moive $(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$		$[e^{j\theta }{]}^n=e^{jn\theta }$