Sách toán/Dải số

Dải Số là một chuổi số có định dạng

Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên	$1,2,3,4,5,....,n$	Dải số trên sẻ đạt vô hạn khi n tiến tới vô hạn $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n=\mathrm{\infty }$
Dải số của các số tự nhiên chẳn	$2,4,6,8,10,...,2n$
Dải số của các số tự nhiên lẻ	$1,3,5,7,...,2n+1$

Phép toán dải số

Phép toán dải số	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Tổng dải số	phép toán tìm tổng của một dải số	$S=\sum$	$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+\cdots +n=1+2+3+...+n=k(1+n)$
Tích dải số	phép toán tìm tích của một dải số	$S=\prod$	$P_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+\cdots +n=1\times 2\times 3\times ...\times n=k(1+n)$

Tổng dải số đại số

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+...+a{r}^{n-1}$

$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+...+a{r}^n$

$S-rS=a-a{r}^n$

$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=\frac{a}{1-r}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^2+1.1^3=4$

$1+1.2+1.2^2+1.2^3=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Dạng tổng quát

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Tổng dải số Fourier

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}c=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=0}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =e^x$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\ln (1+x)\text{ for }|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos (x)\text{ for all }x\in ℂ$

Tích dải số

Tích cấp số cộng

Dạng tổng quát

$a_1{a}_2\cdots a_n$||$=a_1(a_1+d)(a_1+2d)...[(a_1+(n-1)d]$

Chứng minh

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử $a_1$ với công sai $d$, với $n$ số hạng là

$a_1{a}_2\cdots a_n$	$=a_1(a_1+d)(a_1+2d)...[(a_1+(n-1)d]$
	$=d^n\left(\frac{a_1}{d}\right)(\frac{a_1}{d}+1)(\frac{a_1}{d}+2)...[\frac{a_1}{d}+(n-1)]$
	$=d^n{\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\bar{n}}$
	$=d^n\frac{\mathrm{\Gamma }(a_1/d+n)}{\mathrm{\Gamma }(a_1/d)},$

trong đó $x^{\bar{n}}$ là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

$x^{\bar{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$

Đây là tổng quát hoá từ tích $1\times 2\times \dots \times n$ được ký hiệu là $n!$ tới tích của

$m\times (m+1)\times \dots \times (n-1)\times n$

với các số nguyên dương $m$ và $n$ cho bởi công thức

$\frac{n!}{(m-1)!}$

Còn $\mathrm{\Gamma }$ là ký hiệu của Hàm gamma.

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

(Công thức này không bao gồm trường hợp $\frac{a_1}{d}$ là số âm hoặc không).

Thí dụ

$1\times 2\times 3\times 4...\times n=n!$

$cos=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

$sin=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$