Sách số học/Loại số/Số phức

Trong đại số, Số phức được biểu diển dưới dạng toán tổng của một Số thực với một Số ảo

Ký hiệu

Số phức có ký hiệu

Z

Số phức

Z = x + j y = z (c o s θ + j s i n θ) = z e^{j θ}

Z = Z ∠ θ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ∠ t a n^{- 1} \frac{y}{x}

Số phức nghịch

Z = x - j y = z (c o s θ - j s i n θ) = z e^{- j θ}

Z = Z ∠ - θ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ∠ - t a n^{- 1} \frac{y}{x}

Với 2 số phức có dạng

Z = x + j y = z (c o s θ + j s i n θ) = z e^{j θ}

Z^{*} = x - j y = z (c o s θ - j s i n θ) = z e^{- j θ}

Ta có các phép toán số phức sau

Z + Z^{*} = 2 x = 2 z c o s θ = z (e^{j θ} + e^{- j θ})

Z - Z^{*} = j 2 y = j 2 z s i n θ = z (e^{j θ} - e^{- j θ})

Z \times Z^{*} = x^{2} - y^{2} = c o s^{2} θ - s i n^{2} θ = z^{2}

\frac{Z}{Z^{*}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x - j y} = \frac{c o s^{2} θ - s i n^{2} θ}{c o s θ - j s i n θ} = e^{j 2 θ}

Từ trên, ta có

x = c o s θ = \frac{Z + Z^{*}}{2} = \frac{Z}{2} (e^{j θ} + e^{- j θ})

j y = j s i n θ = \frac{Z - Z^{*}}{2} = \frac{Z}{2} (e^{j θ} - e^{- j θ})

Z = Z^{*} e^{j 2 θ} = \frac{Z^{2}}{Z^{*}}

Với 2 số phức khác biệt có dạng

Z_{1} = | Z_{1} | ∠ θ_{1}

Z_{2} = | Z_{2} | ∠ θ_{2}

Phép toán 2 số phức khác biệt

$| Z_{1} | ∠ θ_{1} + | Z_{2} | ∠ θ_{2} =$
$| Z_{1} | ∠ θ_{1} - | Z_{2} | ∠ θ_{2} =$
$| Z_{1} | ∠ θ_{1} \times | Z_{2} | ∠ θ_{2} = Z_{1} \times Z_{2} ∠ (θ_{1} + θ_{2})$
$| Z_{1} | ∠ θ_{1} / | Z_{2} | ∠ θ_{2} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}} ∠ (θ_{1} - θ_{2})$

Với 2 số phức thuận nghịch

Z = (a + i b) = z (\cos θ + i \sin θ)

Z^{*} = (a - i b) = z (\cos θ - i \sin θ)

Phép toán 2 số phức khác biệt

$(a + i b) + (a - i b) = 2 a$
$(a + i b) - (a - i b) = i 2 b$
$(a + i b) \times (a - i b) = a^{2} - b^{2}$
$\frac{(a + i b)}{(a - i b)} = \frac{(a + i b)}{(a - i b)} \frac{(a - i b)}{(a - i b)} = \frac{(a^{2} - b^{2})}{(a - i b)^{2}}$

Từ trên

a = \frac{Z + Z^{*}}{2} = \cos θ

b = \frac{Z + Z^{*}}{j 2} = \sin θ

a + b = \frac{Z \times Z^{*}}{a - b}

a - b = \frac{Z \times Z^{*}}{a + b}

Với 2 số phức thuận và nghịch

Z = | Z | ∠ θ

Z^{*} = | Z | ∠ - θ

Phép toán 2 số phức khác biệt

Z \times Z * = | Z | ∠ θ \times | Z | ∠ - θ = | Z |^{2} ∠ 0

\frac{Z}{Z *} = \frac{| Z | ∠ θ}{| Z | ∠ - θ} = 1 ∠ 2 θ