Sách lượng giác/Hàm số lượng giác cơ bản

Các định nghĩa

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Số phức	$\frac{Z+Z^{*}}{2}$	$\frac{Z-Z^{*}}{2j}$
Chuổi số cộng	$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$ $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$	$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$
Chuổi số tích	$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$	$x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$
Giải tích	$\frac{d}{dx}sinx$	$-\frac{d}{dx}cosx$

Tính chất

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn

$\sin (x)=\sin (x+k2\pi )$

$\cos (x)=\cos (x+k2\pi )$

Đối xứng

$\sin (-x)=-\sin (x)$

$\cos (-x)=\cos (x)$

Tịnh tiến

$sin(x)=cos(x+\frac{\pi }{2})$

$cos(x)=sin(x-\frac{\pi }{2})$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

với

$\phi =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a\ge 0;\\ \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a<0.\end{array}$

Đồ thị hàm số lượng giác cơ bản

Function	Period	Domain	Range	Graph
sine	$2\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$[-1,1]$
cosine	$2\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$[-1,1]$
tangent	$\pi$	$x\ne \pi /2+n\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
secant	$2\pi$	$x\ne \pi /2+n\pi$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$
cosecant	$2\pi$	$x\ne n\pi$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$
cotangent	$\pi$	$x\ne n\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

Phép toán hàm số lượng giác cơ bản

Công thức góc bội

Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

$\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$

Tổng quát

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos (nx)=T_n(\cos (x)).$

công thức de Moivre:

$\cos (nx)+i\sin (nx)=(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)$

$=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin (nx)=2\sin ((n-1)x)\cos (x)-\sin ((n-2)x)$

$\cos (nx)=2\cos ((n-1)x)\cos (x)-\cos ((n-2)x)$=

Công thức góc chia đôi

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}$

$=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1-{\cos }^{2}x)}}$

$=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}.$

Nếu

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right),$

thì:

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$

and

$\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

and

$e^{ix}=\frac{1+it}{1-it}.$

Công thức tổng của 2 góc

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$

Công thức hiệu của 2 góc

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$

Công thức tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

Công thức lũy thừa của góc

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x){\cos }^{2}2(x)=\frac{1-\cos (4x)}{4}$

${\sin }^3(x)=\frac{2\sin 2(x)-\sin (3x)}{4}$

${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$

Đẳng thức dạng số phức

Với $i^2=-1.$

$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Với

$e^{ix}=\cos x+i\sin \theta$

$e^{-ix}=\cos x-i\sin \theta$

Vậy

$e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x$

$\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x$

$e^{ix}-e^{-ix}=i2\sin x$

$\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{i2}=\sin x$

Đẳng thức tích vô hạn

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

Đẳng thức giới hạn

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1,$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}=0,$

Đẳng thức đạo hàm

$\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$

$\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

$\frac{d}{dx}\tan (x)={\sec }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\cot (x)=-{\csc }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\sec (x)=\sec (x)\tan (x)$

$\frac{d}{dx}\csc (x)=-\csc (x)\cot (x)$

$\frac{d}{dx}\arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arctan (x)=\frac{1}{1+x^2}$