Sách kỹ sư/Sách công thức toán đại số

Số đại số

Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số loại số	Ký hiệu	Thí dụ
/Số tự nhiên/	$N$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9$
/Số chẳn/	$2N$	$2,4,6,8$
/Số lẻ/	$2N+1$	$1,3,5,7,9$
/Số nguyên tố/	$P$	$1,3,5,7$
/Phân số/	$c=\frac{a}{b}$	$\frac{1}{2}$
/Số thập phân/	$a=0.abcd$	$0.abcd$
/Số hửu tỉ/	$a=0.aaaaaa$	$0.33333$
/Số vô tỉ/	$a=0.abcdef$	$0.1345$
/Số nguyên/	$I=+I,0,-I$	$-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
/Số phức/	$Z=a\pm jb$	$Z=2\pm j3$
/Số thực/	$a$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9$
/Số ảo/	$j=\sqrt{-1}$	$j5$

Phép toán đại số

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
/Toán cộng/	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
/Toán trừ/	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
/Toán nhân/	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
/Toán chia/	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
/Toán lũy thừa/	$a^n$	$a^n=a\times a\times a...$	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
/Toán căn/	$\sqrt{}$	$\sqrt{a}=b$ nếu có $b^n=a$	Toán lủy thừa nghịch
/Toán log/	$Log,Ln$	$Loga=b$ Nếu có $10^b=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

/Số tự nhiên/

Mọi số đếm đều là số tự nhiên có ký hiệu $N$ . Thí dụ $1,2,3,4,5,6,7,8,9$

/Số chẳn/

Mọi số chẳn đều chia hết cho 2 không có số dư và có

Ký hiệu

$2N$ .

Thí dụ

$2,4,6,8$

/Số lẻ/

Mọi số lẻ không chia hết cho 2 và có số dư bằng 1 và có

Ký hiệu

$2N+1$ .

Thí dụ

$1,3,5,7,9$

/Số nguyên tố/

Mọi số nguyên tố đều chia hết cho 1 và cho chính nó và có

Ký hiệu

$P$ .

Thí dụ

$1,3,5,7$

/Phân số/

Ký hiệu

$\frac{a}{b}$

Thí dụ

$\frac{1}{2}$

Lối dùng phân số

Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng

Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác

Thí dụ

1 phần 2 cái bánh được viết là $\frac{1}{2}$

1 phần 3 cái bánh được viết là $\frac{1}{3}$

1 phần n cái bánh được viết là $\frac{1}{n}$

Khi so sánh 2 đại lượng đại số

• 2 đại lượng bằng nhau

$\frac{a}{b}=1$ khi $a=b$

• 2 đại lượng khác nhau

$\frac{a}{b}>1$ khi $a>b$

$\frac{a}{b}<1$ khi $a<b$

Biểu diển phép tóan chia

$\frac{a}{b}=a/b$

• Khi chia hết, được một thương só và không có số dư

$\frac{a}{b}=c$ . Sao cho $ac=b$ . r = 0

• Khi không chia hết , được một thương só và có số dư

$\frac{a}{b}=c$. Sao cho $ac+r=b$ . r≠0

• Số thập phân, số có dạng 0.abcd

$\frac{1}{2}=0.5$

$\frac{1}{4}=0.25$

$\frac{1}{8}=0.125$

• Số hửu tỉ , số thập phân lặp lại

$\frac{1}{3}=0.333333...$

• Số vô tỉ , số thập phân không lặp lại

$\pi =3.1415...$

Loại phân số

Hỗn số

Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1 .

Thí dụ

$a\frac{b}{c}$ .

Chuyển đổi Hỗn số sang phân số được thực hiện như sau

$a\frac{b}{c}=a+\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}$

Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .

Thí dụ, phân số tối giản

$\frac{1}{2}$ của các phân số sau $\frac{2}{4}$ , $\frac{5}{10}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết	Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi $\frac{a}{b}=c$ . Vậy $a=bc$ a không chia hết cho b khi $\frac{a}{b}=c$. Vậy $a=bc+r$
So sánh phân số	Với hai phân số $\frac{a}{b}$ và$\frac{c}{d}$ Hai phân số bằng nhau khi $a=c$ $b=d$ Hay $\frac{ad}{bd}=\frac{bc}{bd}$ $ad=bc$ Hai phân số không bằng nhau khi $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$
Toán cộng , trừ, nhân, chia	$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$ $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ $\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

/Số nguyên/

Mọi số tự nhiên có giá trị bằng không được gọi là số nguyên không, lớn hơn không được gọi là số nguyên dương , nhỏ hơn không được gọi là số nguyên âm

Ký hiệu

Số nguyên	Số nguyên dương	Số nguyên không	Số nguyên âm
I	+I>0	I=0	-I <0

Thí dụ

$-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Phép toán số nguyên

Số 0

Toán cộng	$0+\pm a=\pm a$
Toán trừ	$0-\pm a=\mp a$
Toán nhân	$0\times \pm a=0$
toán chia	$0/\pm a=0$

Số nguyên dương

Toán cộng	$a+a=2a$ $a+0=a$
Toán trừ	$a-a=0$ $a-0=a$
Toán nhân	$a\times a=a^2$ $a\times 1=a$ $a\times 0=0$
Toán chia	$a/a=1$ $a/1=a$ $a/0=00$
Toán lũy thừa	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a...$ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ $a^{\frac{1}{n}}=n\sqrt{a}$
Toán căn	$n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$ $\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ $\sqrt[n]{ab}$ = $\sqrt[n]{a}$ $\sqrt[n]{b}$ $a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$ $\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$
Toán Log	$Log10^n=n$ ${\log }_b(ac)={\log }_b(a)+{\log }_b(c)$ ${\log }_b(a/c)={\log }_b(a)-{\log }_b(c)$ ${\log }_b(b^a)=a$ ${\log }_b(a)=\frac{{\log }_d(a)}{{\log }_d(b)}$ for any $d>0,d<>1$ ${\log }_b(y^a)=a{\log }_b(y)$

Số nguyên âm

Toán cộng	$-a+(-a)=-2a$ $-a+0=-a$
Toán cộng	$-a-(-a)=0$ $-a-0=-a$
Toán nhân	$-a\times (-a)=a^2$ $-a\times 1=-a$ $-a\times 0=0$
Toán chia	$-a/(-a)=1$ $-a/1=-a$ $-a/0=00$
Toán lũy thừa	$(-a{)}^0=1$ $(-a{)}^n=-a^n$ Vói $n=2m+1$ $(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$
Toán căn	$\sqrt{-a}=\pm j\sqrt{a}$

/Số phức/

Tập tin:Complex conjugate picture.svg

Số phức đại diện cho tổng hay hiệu của một số thực và một số ảo

Ký hiệu

$Z=a+jb$ . Số phức thuận

$Z=a-jb$ . Số phức nghịch

Ký hiệu tổng quát

$Z=a\pm jb$

Thí dụ

$Z=2\pm j3$

Biểu diển số phức

Số phức thuận	$Z=(a+ib)$	$Z\mathrm{\angle }\theta$	$Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )$	$Z{e}^{j\theta }$
Số phức nghịch	$Z=(a-ib)$	$Z\mathrm{\angle }-\theta$	$Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )$	$Z{e}^{-j\theta }$

Toán số phức

+	$2a$	$Z(\mathrm{\angle }\theta +\mathrm{\angle }-\theta )$	$2Z\cos \theta$	$Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$
-	$i2b$	$Z(\mathrm{\angle }\theta -\mathrm{\angle }-\theta )$	$i2Z\sin \theta$	$Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$
x	$a^2-b^2$	$Z^2\mathrm{\angle }0$	$Z^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$	$Z^{2}e$
/	$\frac{a^2-b^2}{a-ib}$	$1\mathrm{\angle }2\theta$	$\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}$	$e^{j2\theta }$
$({)}^n$	$(a+ib{)}^n$	Định luật De Moive $(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$		$[e^{j\theta }{]}^n=e^{jn\theta }$

/Số ảo/

Ký hiệu

$\pm jb$

Với

$j=\sqrt{-1}$

Thí dụ

$\pm 5j$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^2=-1$ $\frac{j}{j}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^2=1$ $\frac{j}{-j}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^0=1$ $j^1=j$ $j^2=-1$ $j^3=-j$ Từ trên, ta có $j^n=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^n=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j{)}^0=1$ $(-j{)}^1=-j$ $(-j{)}^2=-1$ $(-j{)}^4=j$ Từ trên, ta có $(-j{)}^n=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j{)}^n=\pm j$ với $n=2m+1$

/Số thực/

$a$

Dải số

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên . $1,2,3,4,5,....,n$

Dải số của các số tự nhiên chẳn . $2,4,6,8,10,...,2n$

Dải số của các số tự nhiên lẻ .$1,3,5,7,...,2n+1$

Tổng dải số

Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau

$s=1+2+3+...+n$

Tổng dải số có ký hiệu

$\sum$

Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+\cdots +n=k(1+n)$.

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+...+a{r}^{n-1}$

$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+...+a{r}^n$

$S-rS=a-a{r}^n$

$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=\frac{a}{1-r}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^2+1.1^3=4$

$1+1.2+1.2^2+1.2^3=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Dạng tổng quát

$(x+y{)}^n$

Công thức tổng quát

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Hằng số trước biến số x

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Tổng chuổi số Fourier

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau

$\begin{array}{cc}{s}_N(x)& =\stackrel{A_0}{\overbrace{a_0}}/2+\sum _{n=1}^N(\stackrel{A_n\sin ({\varphi }_n)}{\overbrace{a_n}}\cos \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)+\stackrel{A_n\cos ({\varphi }_n)}{\overbrace{b_n}}\sin \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)),\\ \end{array}$

Với

$\begin{array}{cc}{a}_0& =A_0\\ a_n& =A_n\sin ({\varphi }_n)& \text{for }n\ge 1\\ b_n& =A_n\cos ({\varphi }_n)& \text{for }n\ge 1\end{array}$

Giá trị hằng số a,b

$\begin{array}{ccc}{a}_n& =\frac{2}{P}\underset{x_0}{\overset{x_0+P}{\int }}s(x)\cdot \cos \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)dx& \text{for }n\ge 0\\ b_n& =\frac{2}{P}\underset{x_0}{\overset{x_0+P}{\int }}s(x)\cdot \sin \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)dx& \text{for }n>0\end{array}$

Dạng tổng của lũy thừa

$\begin{array}{cc}{s}_N(x)& =\sum _{n=-N}^N{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{P}},\end{array}$

Với

$c_n\triangleq \{\begin{array}{cc}\frac{A_n}{2i}{e}^{i{\varphi }_n}=\frac{1}{2}(a_n-i{b}_n)& \text{for }n>0\\ \frac{1}{2}{A}_0=\frac{1}{2}{a}_0& \text{for }n=0\\ \frac{-A_{-n}}{2i}{e}^{-i{\varphi }_{-n}}=\frac{1}{2}(a_{-n}+i{b}_{-n})=c_{|n|}^{*}& \text{for }n<0.\end{array}$

Giá trị hằng số c

$c_n=\frac{1}{P}\underset{x_0}{\overset{x_0+P}{\int }}s(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{P}}dx\text{for }n\in \mathbb{N}$

Ứng dụng

Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

Tập tin:Fourier Series.svg

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$

Biểu thức đại số

Biểu thức đại số tạo từ nhiều đơn thức đại số cùng , các ngoặc đơn kép cùng với các phép toán đại số . Thí dụ

$(2x+3y)+6x/2$

Với

Đơn thức đại số . $2x,3y,6x,2$

Dấu ngoặc đơn . ()

Toán đại số . +, /

Loại Biểu thức đại số

Đẳng thức đại số

Thí dụ

$(2x+3y)=6x/2$

Bình phương tổng 2 số đại số

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

Bình phương hiệu 2 số đại số

$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

Tổng 2 bình phương ||

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$
$a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab$

Hiệu 2 bình phương

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Tổng 2 lập phương

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Hiệu 2 lập phương

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Bất đẳng thức đại số

Thí dụ

$(2x+3y)>6x/2$

$(2x+3y)<6x/2$

Phép toán biểu thức đại số

Quy ước

Thứ tự thực thi phép toán biểu thức đại số như sau

1. Ngoặc	{}	[]	()
2. Lũy thừa	$a^n$
3. Nhân, Chia	X	/
4. Công, trừ	+	-

Thí dụ

$A=2x+5y-3$

$B=52y-5$

$A+B=(2x+5y-3)+(52y-5)=2x+(5y+52y)+(-3-5)=2x+57y-8$

$A-B=(2x+5y-3)-(52y-5)=2x+(5y-52y)+[-3-(-5)]=2x-47y+2$

Hàm số đại số

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như

$y=2x+5$

Mọi hàm số đều có một hay nhiều hơn một biến số

Mọi hàm số của một biến số	$f(x)$	$y=2x$
Hàm số 2 biến số	$f(x,y)$	$r^2=x^2+y^2$ $f(r,\theta )$ . $Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{(}{x}^2+y^2)\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$
Hàm số 3 biến số	$f(x,y,z)$	$r^2=x^2+y^2+z^2$

Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không	$f(x)=0$
Hàm số bằng hằng số không đổi	$f(x)=C$
Hàm số khác không	$f(x)=y(x)$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn (Even function)	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ (Odd function)	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)	$f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$	$si{n}^{-1}x=\frac{1}{sinx}$
Hàm số trong hàm số (Composite function)	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] (Recursive function)
Hàm số chia/]] (Rational function)	$Q(x)=\frac{N(x)}{M(x)}-R(x)$

Công thức toán của hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_o+Z(x-x_o)$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$
Hàm số vòng tròn	Hàm số vòng tròn Z đơn vị $Z^2=X^2+Y^2$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	$(\frac{Z}{Z}{)}^2=(\frac{X}{Z}{)}^2+(\frac{Y}{Z}{)}^2$ $1=co{s}^2+si{n}^2$ $1=se{c}^2+ta{n}^2$ $1=cs{c}^2+co{t}^2$
Hàm số lũy thừa Power function	$y=a{x}^n$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số lượng giác	$cos\theta =\frac{X}{Z}$ $sec\theta =\frac{1}{X}$ $csc\theta =\frac{1}{Y}$ $tan\theta =\frac{Y}{X}$ $cot\theta =\frac{X}{Y}$

Biểu diển Hàm số bằng tổng dải số lũy thừa

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+...=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+...$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_0$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$

$f^{\text{'}}(0)=a_1$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$

$a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$

$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$

$a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin (x)$

$f(x)=\sin (x)$	$f(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\sin (x)=0+x(1)+\frac{x^2}{2!}(0)+\frac{x^3}{3!}(-1)+\frac{x^5}{5!}(1)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

• $f(x)=\cos (x)$

$f(x)=\cos (x)$	$f(0)=\cos (0)=1$
$f^{\text{'}}(x)=-\sin (x)$	$f^{\text{'}}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\cos (x)=1+x(0)+\frac{x^2}{2!}(-1)+\frac{x^3}{3!}(0)+\frac{x^4}{4!}(1)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}$

Đồ thị hàm số

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị Đồ Thị điểm XY và Đồ Thị điểm Rθ

Đồ Thị điểm XY

Đồ thị	Hình	Ý nghỉa
Đồ Thị điểm XY		Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang, gọi là trục hoành hay trục x . Một dọc, gọi là trục tung hay trục y cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0) Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ, Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8 $X=Rcos\theta$ $Y=Rsin\theta$

Đồ Thị điểm Rθ

Đồ thị	Hình	Ý nghỉa
Đồ Thị điểm Rθ	Tập tin:Examples of Polar Coordinates.svg	Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ $R^2=X^2+Y^2$ $Tan\theta =\frac{Y}{X}$

Đồ thị hàm số

Tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

$y=x$

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

x	-2	-1	0	1	2
y = x	-2	-1	0	1	2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Tập tin:LinearInterpolation.svg

Đồ thị của các hàm số cơ bản

Dạng hàm số	Công thức	Đồ thị
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_o+a(x-x_o)$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$ . với $x_o=0,y_o=b$
Hàm số vòng tròn	Hàm số vòng tròn Z đơn vị $Z^2=X^2+Y^2$	Hình thu nhỏ có lỗi:
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	${\frac{Z}{Z}}^2={\frac{X}{Z}}^2+{\frac{Y}{Z}}^2$ $1=co{s}^2+si{n}^2$ $1=se{c}^2+ta{n}^2$ $1=cs{c}^2+co{t}^2$	Tập tin:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.svg
Hàm số lũy thừa Power function	$y=a{x}^n$	Tập tin:Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ dương.jpg
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$	Tập tin:Logarithm plots.png
Hàm số lượng giác cos	$cos\theta =\frac{X}{Z}$	Tập tin:Cos.svg
Hàm số lượng giác sin	$cos\theta =\frac{Y}{Z}$	Hình thu nhỏ có lỗi:
Hàm số lượng giác sec	$cos\theta =\frac{1}{X}$	Tập tin:Sec.svg
Hàm số lượng giác csc	$cos\theta =\frac{1}{Y}$
Hàm số lượng giác tan	$cos\theta =\frac{Y}{X}$
Hàm số lượng giác cot	$cos\theta =\frac{X}{Y}$	Hình thu nhỏ có lỗi:

Line

Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation $$\phi =\gamma ,$$ where $\gamma$ is the angle of elevation of the line; that is, $\phi =\arctan m$, where $m$ is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line $\phi =\gamma$ perpendicularly at the point $(r_0,\gamma )$ has the equation $$r(\phi )=r_0\sec (\phi -\gamma ).$$

Otherwise stated $(r_0,\gamma )$ is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius $r_0$

Circle

A circle with equation Bản mẫu:Math

The general equation for a circle with a center at $(r_0,\gamma )$ and radius a is $$r^2-2r{r}_0\cos (\phi -\gamma )+r_0^2=a^2.$$

This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation $$r(\phi )=a$$ for a circle with a center at the pole and radius a.

When Bản mẫu:Math or the origin lies on the circle, the equation becomes $$r=2a\cos (\phi -\gamma ).$$

In the general case, the equation can be solved for Bản mẫu:Math, giving $$r=r_0\cos (\phi -\gamma )+\sqrt{a^2-r_0^2{\sin }^2(\phi -\gamma )}$$ The solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

Polar rose

A polar rose with equation Bản mẫu:Math

A polar rose is a mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation, $$r(\phi )=a\cos (k\phi +{\gamma }_0)$$

for any constant γ₀ (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k-petaled rose if k is odd, or a 2k-petaled rose if k is even. If k is rational, but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The variable a directly represents the length or amplitude of the petals of the rose, while k relates to their spatial frequency. The constant γ₀ can be regarded as a phase angle. Bản mẫu:Clear

Archimedean spiral

One arm of an Archimedean spiral with equation Bản mẫu:Math for Bản mẫu:Math

The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation $$r(\phi )=a+b\phi .$$ Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for Bản mẫu:Math and one for Bản mẫu:Math. The two arms are smoothly connected at the pole. If Bản mẫu:Math, taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections, to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.

Ellipse, showing semi-latus rectum

Conic sections

A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by: $$r=\frac{\ell }{1-e\cos \phi }$$ where e is the eccentricity and $\ell$ is the semi-latus rectum (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If Bản mẫu:Nowrap, this equation defines a hyperbola; if Bản mẫu:Math, it defines a parabola; and if Bản mẫu:Math, it defines an ellipse. The special case Bản mẫu:Math of the latter results in a circle of the radius $\ell$. Bản mẫu:Clear

Intersection of two polar curves

The graphs of two polar functions $r=f(\theta )$ and $r=g(\theta )$ have possible intersections of three types:

1. In the origin, if the equations $f(\theta )=0$ and $g(\theta )=0$ have at least one solution each.
2. All the points $[g({\theta }_i),{\theta }_i]$ where ${\theta }_i$ are solutions to the equation $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ where $k$ is an integer.
3. All the points $[g({\theta }_i),{\theta }_i]$ where ${\theta }_i$ are solutions to the equation $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ where $k$ is an integer.

Tóan hàm số

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\mathrm{\Delta }x=(x+\mathrm{\Delta }x)-x$

Thay đổi biến số y

$\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}$

Đạo hàm

v

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\text{'}}(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Tích phân

Tích phân xác định

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định

Hình thu nhỏ có lỗi:

$\int f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum (f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2})\mathrm{\Delta }x=F(x)+C$

Phương trình đại số

Phương trình

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

$f(x)=0$

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình $f(x)=0$

Thí dụ

$2x+5=0$

$2xy+5=z$

$x^2+4x-12=0$

Giải phương trình

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình

Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình $2x+4=6$

$2x=6-4=2$

$x=2/2=1$

Giải phương trình đường thẳng

Tập tin:LinearInterpolation.svg

Dạng tổng quát

$ax+b=0$

Giải phương trình

$ax+b=0$

$x+\frac{b}{a}=0$

Nghiệm số phương trình

$x=-\frac{b}{a}$

Giải phương trình đường tròn

Phương trình hình tròn hệ số thực

Dạng tổng quát

$X^2+Y^2=0$

Giải phương trình

$X=\sqrt{-Y^2}=\pm jY$

$Y=\sqrt{-X^2}=\pm jX$

Phương trình hình tròn hệ số phức

Dạng tổng quát

$X+jY=0$

Giải phương trình

$X=-jY$

$jY=-X$

$Y=jX$

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+\frac{b}{a}=0$ $x=-\frac{b}{a}$	Tập tin:Đồ thị ax cộng b.gif
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ :$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$ $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. ${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $a{x}^n+b=0$ $a{x}^n=-b$ v$x^n=-\frac{b}{a}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_o=0$

Giải phương trình giải tích

Phương trình đạo hàm	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n	$a\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)+bf(x)=0$	$s^{n}f(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s^n=-\frac{b}{a}$ $s=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$ $f(x)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2 Hình thu nhỏ có lỗi:
Phương trình đạo hàm bậc 2	$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+b\frac{d}{dx}f(x)+cf(x)=0$	$s^{2}f(x)+\frac{b}{a}sf(x)+\frac{c}{a}f(x)=0$ $s^2+2\alpha s+\beta =0$ $s=-\alpha$ . $f(x)=A{e}^{-\alpha x}=A(\alpha )$ . $\alpha$ = $\beta$ $s=-\alpha \pm \lambda$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$ . $\alpha$ < $\beta$ $s=-\alpha \pm j\omega$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$ . $\alpha$ > $\beta$ $\alpha =\frac{b}{2a}$ . $\beta =\frac{c}{a}$ . $\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$ . $\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$
Phương trình đạo hàm bậc 1	$a\frac{d}{dx}f(x)+bf(x)=0$	$sf(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s=-\frac{b}{a}$ $f(x)=A{e}^{sx}=A{e}^{-\frac{b}{a}x}=A{e}^{-\alpha x}$