Sách giải tích/Hàm số/Loại hàm số/Hàm số lũy thừa

Lũy thừa (từ Hán-Việt: Bản mẫu:Linktext nghĩa là "nhân chồng chất lên") là một phép toán toán học, được viết dưới dạng

$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times \dots \times a}}.$

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó

• :$a^n$ được gọi là "lũy thừa bậc n của a", "a lũy thừa n", hoặc hầu hết ngắn gọn là "a mũ n"
• $a^2$ còn được gọi là "a bình phương" hoặc "bình phương của a"
• $a^3$ còn được gọi là "a lập phương" hoặc "lập phương của a"

Tính chất Lũy Thừa

Tính chất cơ bản

1) aⁿ = a $\times$ a $\times$ a $\times$... $\times$ a

(n thừa số a)

2) $a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a\times a\times a\times ...a}$

3) 0ⁿ = 0 (n > 0)

4) 1ⁿ = 1

5) a⁰ = 1 ($a\ne 0$)

6) a¹ = a

7) $a^{-1}=\frac{1}{a}$

Tính chất thường găp

1) a^{m + n} = a^m $\times$ aⁿ

2) $a^{m-n}=a^m:a^n$ với mọi a ≠ 0

3) $a^{m\cdot n}=(a^m{)}^n$

4) $a^{m^n}=a^{(m^n)}$

5) $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$

6)${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

7) $a^{\frac{b}{c}}={\left(a^b\right)}^{1/c}=\sqrt[c]{a^b}$

8) $a^x=e^{x\cdot \ln a}$

9) $e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x$

Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng

$y=x^{\alpha }$ với $\alpha \in ℝ$

Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

• nếu $\alpha$ là số nguyên dương thì tập xác định là $D=ℝ$
• nếu $\alpha =0$ hoặc $\alpha$ là số nguyên âm thì tập xác định là $D=ℝ\setminus \{0\}$
• nếu $\alpha$ không phải là số nguyên thì tập xác định là $D=(0;+\mathrm{\infty })$

Đạo hàm

Hàm số

$y=f(x)=x^{\alpha }$

có đạo hàm tại mọi x > 0 và

$y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$ là đạo hàm cấp 1 của f(x)

Xét hàm số $y=x^{\alpha }$ trên x>0:

• Với $\alpha >0$, hàm số đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$
• Với $\alpha <0$, hàm số nghịch biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$

Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$trên x>0 có tính chất sau:

• Luôn đi qua điểm I(1;1)
• Nếu $\alpha <0$, đồ thị nhận trục Ox là tiệm cận ngang và trục Oy là tiệm cận đứng
• Có đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^n$ với $n\in \mathbb{Z}$ có tính chất tương tự như trên với x>0. Ngoài ra, phần đồ thị với x<0 có tính đối xứng với phần đồ thị x>0 phụ thuộc vào n:

• Nếu n là số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy do f(x) là hàm số chẵn
• Nếu n là số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O do f(x) là hàm số lẻ

Hàm số mũ

Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Đạo hàm

Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 thì có đạo hàm tại mọi x và $y^{\prime }=a^x\ln (a)$ là đạo hàm cấp 1 của $f(x)$

Đặc biệt hàm số $y=e^x$ có đạo hàm cấp 1 là $y^{\prime }=e^x$

Chiều biến thiên

Hàm số $y=f(x)=a^x$ đồng biến trên R nếu a>1 và nghịch biến trên R nếu 0<a<1.

Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=f(x)=a^x$có những tính chất sau:

• Luôn đi qua điểm I(0;1) và điểm J(1;a)
• Đồ thị nằm phía trên trục Ox và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang

Tìm chữ số tận cùng

Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

Để tìm chữ số tận cùng, ta có thể lập bảng để biết chữ số tận cùng được thay đổi như thế nào.

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 7²⁰⁰⁴?

Phân tích:

Lũy thừa	71	72	73	74	75	76	77	78	…
Chữ số tận cùng	7	9	3	1	7	9	3	1	…

Giải:

Chữ số tận cùng được lặp lại theo dãy: 7, 9, 3, 1, 7,...

2004: 4 = 501 dư 0

Vậy chữ số tận cùng của 7²⁰⁰⁴ là 1.

Tìm số các số 0 tận cùng của một tích

Vì 2 x 5 = 10 nên muốn tìm số các số 0 tận cùng ta có thể tìm số cặp 2,5 là ra luôn số các số 0 tận cùng.