Sách công thức/Sách công thức Toán

/Sách công thức lượng giác/

Góc

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng . Góc có ký hiệu $\mathrm{\angle }$ . Thí dụ 2 đường thẳng AB và AC cắt nhau tại một điểm a tạo ra góc A : $\mathrm{\angle }A$

Góc đo bằng đơn vị Độ ^o hay Radian Rad

$1rad=\frac{180^o}{\pi }$

$1^o=\frac{\pi }{180^o}$

Thí dụ : Góc A bằng 30^o

$\mathrm{\angle }A=30^0=\frac{\pi }{6}rad$

Bảng liệt kê các loại góc

Thể loại góc	Hình	Định nghỉa
Góc nhọn		Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông		Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù		Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt		Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản		Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy		Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).

Hàm số lượng giác cơ bản

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Công thức góc Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn	Đối xứng	Tịnh tiến
$\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$	$\sin (-x)=-\sin (x)$	$\sin (x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$
$\cos (x)=\cos (x+2k\pi )$	$\cos (-x)=\cos (x)$	$\cos (x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$
$\tan (x)=\tan (x+k\pi )$	$\tan (-x)=-\tan (x)$	$\tan (x)=\cot (\frac{\pi }{2}-x)$
	$\cot (-x)=-\cot (x)$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

với

$\phi =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a\ge 0;\\ \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a<0.\end{array}$

Công thức góc bội

• Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

$\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

• Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$

• Tổng quát

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos (nx)=T_n(\cos (x)).$

công thức de Moivre:

$\cos (nx)+i\sin (nx)=(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)$

$=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin (nx)=2\sin ((n-1)x)\cos (x)-\sin ((n-2)x)$

$\cos (nx)=2\cos ((n-1)x)\cos (x)-\cos ((n-2)x)$=

Công thức góc chia đôi

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}$

$=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1-{\cos }^{2}x)}}$

$=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}.$

Nếu

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right),$

thì:

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$

and

$\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

and

$e^{ix}=\frac{1+it}{1-it}.$

Công thức tổng của 2 góc

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$

Công thức hiệu của 2 góc

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$

Công thức tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

Công thức lũy thừa của góc

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x){\cos }^{2}2(x)=\frac{1-\cos (4x)}{4}$

${\sin }^3(x)=\frac{2\sin 2(x)-\sin (3x)}{4}$

${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$

Hàm số lượng giác nghịch

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	${\cos }^{-1}x$	${\sin }^{-1}x$	${\tan }^{-1}x$	${\cot }^{-1}x$	${\sec }^{-1}x$	${\csc }^{-1}x$
Tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Chuổi Số

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

$\begin{array}{ccc}\arcsin z& =& z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)}\end{array}\left|z\right|<1$

$\begin{array}{ccc}\arccos z& =& \frac{\pi }{2}-\arcsin z\\ & =& \frac{\pi }{2}-(z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =& \frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)}\end{array}\left|z\right|<1$

$\begin{array}{ccc}\arctan z& =& z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1}\end{array}\left|z\right|<1$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arccsc}z& =& \arcsin \left(z^{-1}\right)\\ & =& z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots \\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{2n+1}\end{array}\left|z\right|>1$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arcsec}z& =& \arccos \left(z^{-1}\right)\\ & =& \frac{\pi }{2}-(z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots )\\ & =& \frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}\end{array}\left|z\right|>1$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arccot}z& =& \frac{\pi }{2}-\arctan z\\ & =& \frac{\pi }{2}-(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =& \frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1}\end{array}\left|z\right|<1$

Tích Phân

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

$\arcsin \left(x\right)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}z,|x|<1$

$\arccos \left(x\right)=\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}z,|x|<1$

$\arctan \left(x\right)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{1+z^2}\mathrm{d}z,\mathrm{\forall }x\in ℝ$

$\mathrm{arccot}\left(x\right)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z^2+1}\mathrm{d}z,z>0$

$\mathrm{arcsec}\left(x\right)=\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{|z|\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z,x>1$

$\mathrm{arccsc}\left(x\right)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{-1}{|z|\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z,x>1$

Số Phức

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến số phức|phức:

$\arcsin (z)=-i\log \left(i(z+\sqrt{1-z^2})\right)$

$\arccos (z)=-i\log (z+\sqrt{z^2-1})$

$\arctan (z)=\frac{i}{2}\log \left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)$

/Sách công thức hình học/

Tam giác thường

Các định lý định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác

Định lý	Hình	Ý nghỉa	Công thức
Định lý Cosine		định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc	$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$ $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$
Định lý Sine		định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng.	$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$
Định lý Pytago		Định lý cos khái quát định lý Pytago (định lý Pytago là trường hợp riêng trong tam giác vuông): nếu γ là góc vuông thì Bản mẫu:Nowrap và định lý cos trở thành định lý Pytago	$c^2=a^2+b^2$

Tam giác vuông

Tính chất

Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng $90^o$ Tam giác vuông có

3 điểm . $A,B,C$

3 cạnh . $AB,BC,CA$ . c - Cạnh huyền . a - Cạnh đối . b - Cạnh kề . $\overline{AC}\perp \overline{CB}$

3 góc . $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$ . $\mathrm{\angle }C=90^o$

• Chu vi . $a+b+c$
• Diện tích . $\frac{1}{2}ab$
• Thể tích . $\frac{1}{2}ab$

6 Hàm số lượng giác cơ bản

Định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Định lý Pythago

Định nghỉa tương quan giửa 3 cạnh trong tam giác vuông

$c^2=a^2+b^2$

Hàm số đường thẳng

Trong lượng giác, đường thẳng nghiêng được xem như đường thẳng có một độ dài nghiêng ở một góc độ

$Z=z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }{\tan }^{-1}\frac{Y}{X}$

$X=Z\cos \theta =x-x_o$

$Y=Z\sin \theta =y-y_o$

$Z=\sqrt{X^2+Y^2}$

$\theta ={\tan }^{-1}\frac{Y}{X}$

Trong đại số qua bất kỳ 2 điểm $(x_o,y_o)$ và $(x,y)$, ta có thể vẻ một đường thẳng có độ dóc đường thẳng

$a=\frac{y-y_o}{x-x_o}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{Y}{X}$

$y-y_o=a(x-x_o)$

$Y=aX$

$X=\frac{Y}{a}$

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát

$ax+b=0$

Giải phương trình

$ax+b=0$

$x+\frac{b}{a}=0$

Nghiệm số phương trình

$x=-\frac{b}{a}$

Vector đường thẳng

$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$

$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}$

Hay

$\overrightarrow{A}=A\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{A}}{A}$

$A=\frac{\overrightarrow{A}}{a}$

Hình tròn

Tính chất

R - Bán kính vòng tròn

D - Đường kính vòng tròn
O - Tâm của đường tròn

• Chu vi -

$P=d\pi =2r\pi$

• Diện tích -

$S=r^2.\pi$ hay $A=(d^2.\pi )/4$

• Thể tích -

Hàm số Hình tròn

$Z=\sqrt{X^2+Y^2}$

$Z^2=X^2+Y^2$

${\frac{Z}{Z}}^2={\frac{X}{Z}}^2+{\frac{Y}{Z}}^2$

$1={\cos }^{2}x+si{n}^{2}x$

$1={\tan }^{2}x+se{c}^{2}x$

$1={\cot }^{2}x+cs{c}^{2}x$

Phuơng trình Hình tròn

$Z^2=X^2+Y^2=0$

$X=\sqrt{-Y^2}=\pm jY$

$Y=\sqrt{-X^2}=\pm jX$

Vector Hình tròn

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}=X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}$

Hình cung tròn

Tính chất

$s=r\theta$

$\theta =\frac{s}{r}$

• /Sách công thức đại số/
• /Sách công thức giải tích/
• /Sách công thức ma trận/