Sách đại số/Phương trình đại số/Giải phương trình tuyến tính

Trong Bản mẫu:Webarchive không gian Euclide ba chiều, ba mặt phẳng này biểu diễn các nghiệm của phương trình tuyến tính, và giao tuyến của chúng biểu thị tập các nghiệm chung: trong trường hợp này là một điểm duy nhất. Đường màu xanh lam là nghiệm chung cho hai phương trình này.

các phương trình tuyến tính như:

$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b,$

ánh xạ tuyến tính như:

$(x_1,\dots ,x_n)\mapsto a_1{x}_1+\dots +a_n{x}_n,$

và biểu diễn của chúng trong không gian vectơ và thông qua ma trận

Tính chất

Không gian vectơ

Cấu trúc chính của đại số tuyến tính là các không gian vectơ. Một không gian vectơ trên trường số $𝔽$ là một tập $V$ kèm theo phép toán hai ngôi. Các phần tử trong $V$ gọi là những vectơ, các phần tử trong $𝔽$ gọi là vô hướng. Phép toán đầu tiên là phép cộng vectơ, cộng 2 vectơ $v$ và $w$ cho ra một vectơ thứ 3 là $v+w$. Phép toán thứ hai là phép nhân một vô hướng $a$ với bất kỳ vectơ $v$ nào và kết quả cho ra một vectơ mới $av$, phép toán này gọi là phép nhân vô hướng của $v$ với $a$. Các phép nhân và cộng trong không gian vectơ phải thỏa mãn 8 tiên đề sau, với $u$, $v$ và $w$ là các vectơ trong tập $V$. $a$ và $b$ là các vô hướng trong trường số $𝔽$.

Tiên đề	Công thức biểu diễn
Tính kết hợp của phép cộng	$(u+v)+w=u+(v+w)$
Phần tử trung hòa của phép cộng	Tồn tại một phần tử $0\in V$, sao cho $v+0=0+v=v$ với mọi $v\in V$.
Phần tử nghịch đảo của phép cộng	Với mọi $v\in V$, tồn tại một phần tử $-v\in V$, gọi là phần tử nghịch đảo của $v$, sao cho $v+(-v)=(-v)+v=0$
Tính giao hoán của phép cộng	$u+v=v+u$
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vectơ	$a(u+v)=au+av$
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vô hướng	$(a+b)v=av+bv$
Phép nhân vô hướng kết hợp với phép nhân trong trường các số vô hướng	$a(bv)=(ab)v$
Phần tử đơn vị trong phép nhân vô hướng	$1v=v$, với $1$ là phần tử đơn vị của phép nhân trong trường $𝔽$.

Ánh xạ tuyến tính

Cho 2 không gian vectơ $V$ và $W$ trên trường $𝔽$, một biến đổi tuyến tính (còn gọi là ánh xạ tuyến tính) là một ánh xạ:

$T:V\to W$

bảo toàn phép cộng và phép nhân vô hướng:

$T(u+v)=T(u)+T(v),T(av)=aT(v)$

với mọi vectơ $u,v\in V$ và mọi vô hướng $a\in 𝔽$.

Thí dụ

Hệ phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

Hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Giải hệ phương trình đường thẳng

Với hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

$x+\frac{b}{a}y=\frac{c}{a}$

$x+\frac{e}{d}y=\frac{f}{d}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})\times y=(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})$

Tìm giá trị nghiệm số y

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

$\frac{a}{b}x+y=\frac{c}{b}$

$\frac{d}{e}x+y=\frac{f}{e}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})\times x=(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})$

Tìm giá trị nghiệm số y

Vậy, hệ phương trình đường thẳng

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Có nghiệm 2 nghiệm số

$x=\frac{(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})}{(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})}$

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Thế số vào phương trình

$2x+3y=4$

$5x+6y=7$

Thế $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7$ vào

$x=\frac{(\frac{c}{b}-\frac{f}{e})}{(\frac{a}{b}-\frac{d}{e})}$

$y=\frac{(\frac{c}{a}-\frac{f}{d})}{(\frac{b}{a}-\frac{e}{d})}$

Ta có

$x=\frac{(\frac{4}{3}-\frac{7}{6})}{(\frac{2}{3}-\frac{5}{6})}=\frac{3}{6}/-\frac{3}{6}=-1$

$y=\frac{(\frac{4}{2}-\frac{7}{5})}{(\frac{3}{2}-\frac{6}{7})}=\frac{6}{10}/\frac{3}{14}=\frac{84}{30}$

Ma trận

Lối giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát

$\{\begin{array}{c}a.x+b.y=e,\\ c.x+d.y=f,\end{array}$

Giải phương trình cho nghiệm số

$x=\frac{ed-bf}{ad-bc};y=\frac{af-ce}{ad-bc}$.

Giải phương trình bằng ma trận

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right].$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$$\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right].$

Tìm định thức ma trận

Định thức của A

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

det(A)=ad-bc.

Định thức của X

$A=\left[\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right]$

det(X)=ed-bf.

Định thức của Y

$Y=\left[\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right]$

det(A)=af-cd.

Tìm nghiệm số

$x=\frac{X}{A};y=\frac{Y}{A}$.

$x=\frac{ed-bf}{ad-bc};y=\frac{af-ce}{ad-bc}$.