Sách đại số/Phương trình đại số/Giải phương trình lũy thừa

Giải phương trình lũy thừa bậc 1

• $ax+b=0$

$x+\frac{b}{a}=0$

$x=-\frac{b}{a}$

Giải phương trình lũy thừa bậc 2

• $a{x}^2+bx+c=0$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$.

${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

$x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

• $a{x}^n+b=0$

$a{x}^n=-b$

$x^n=-\frac{b}{a}$

$x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$

$x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$

Giải phương trình lũy thừa bậc n

Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

Phương trình bậc hai

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình:

$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$

thì:$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=S=-b/a\\ x_1{x}_2=P=\frac{c}{a}\end{array}$

Phương trình đa thức bất kỳ

Cho phương trình:

$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n=0,a_n\ne 0$

Cho x₁, x₂,..., x_n là n nghiệm của phương trình trên, thì:

$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$

Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:

$\{\begin{array}{c}a=a_n\\ -a(x_1+x_2+...+x_n)=a_{n-1}\\ \dots \\ \dots \\ (-1{)}^{n-1}a(x_1{x}_2...x_{n-1}+x_1{x}_2...x_{n-2}{x}_n+...+x_2{x}_3...x_n)=a_1\\ (-1{)}^{n}a(x_1{x}_2...x_n)=a_0\end{array}$

và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là $a_{n-k}$ còn vế trái được tính như sau:

• $(-1{)}^{k}a$

nhân với

• Tổng của: các tích từng cụm k các nghiệm của phương trình trên.

Ví dụ phương trình bậc 3

- Nếu x₁, x₂, x₃ là nghiệm của phương trình

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a₃ tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=-b/a\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=c/a\\ x_1{x}_2{x}_3=-d/a\end{array}$

Áp dụng

• Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình.
  • Ví dụ: Có thể nhẩm tính phương trình:$x^2-5x+6=0$ có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2$.$3 = 6.
• Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình toán học học kỳ 2, lớp 9 tại Việt Nam.

• Áp dụng trong phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$
  • Khi có tổng và tích của hai nghiệm $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=S=-b/a\\ x_1{x}_2=P=\frac{c}{a}\end{array}$ với $S^2-4P\ge 0$
    • Khi đó $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$
    • Phương trình có hai nghiệm trái dấu $\iff x_1{x}_2<0\iff$ $P<0$ hoặc tích của $ac<0$ (tức $a$ và $c$ trái dấu nhau)
    • Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $\iff 0<x_1<x_2\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ S>0\\ P>0\end{array}$
    • Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\iff x_1<x_2<0\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ S<0\\ P>0\end{array}$
    • Phương trình có đúng một nghiệm dương $x_0$ $\iff 0<x_0\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\\ x_0+x_0=S>0\\ x_0{x}_0=P>0\end{array}$
    • Phương trình có đúng một nghiệm âm $x_0$ $\iff 0<x_0\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\\ x_0+x_0=S<0\\ x_0{x}_0=P>0\end{array}$
  • Nhẩm nghiệm nhanh chóng
    • Khi $a+b+c=0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là $x_1=1$ và $x_2=c/a$
    • Khi $a-b+c=0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là $x_1=-1$ và $x_2=-c/a$
  • Phân tích đa thức thành nhân tử
    • Nếu hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì nó có thể phân tích thành nhân tử $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
    • Nếu hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ chỉ có 1 nghiệm $x_0$ thì nó có thể phân tích thành nhân tử $f(x)=a(x-x_0{)}^2$
• Áp dụng trong phương trình bậc ba $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$:
  • Nhẩm nghiệm nhanh:
    • Khi $a+b+c+d=0$ thì phương trình bậc ba có một nghiệm $x_1=1$
    • Khi $a-b+c-d=0$ thì phương trình bậc ba có một nghiệm $x_1=-1$