Sách đại số/Dải số/Tổng dải số/Công thức tổng dải số

Tổng dải số hằng số

$\sum _{k=0}^{n}c=nc$ where $c$ is some constant.

Tổng dải số lũy thừa

$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=0}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =e^x$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\ln (1+x)\text{ for }|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos (x)\text{ for all }x\in ℂ$

Hằng số π

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{i+1}(4)}{2i-1}=\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}-\cdots =\pi$

Lôgarit tự nhiên của 2

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{i+1}}{i}=\ln 2$

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2i+1)(2i+2)}=\ln 2$

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(i+1)(i+2)}=2\ln (2)-1$

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i(4i^2-1)}=2\ln (2)-1$

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{i}i}=\ln 2$

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i})\frac{1}{i}=\ln 2$

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2i(2i-1)}=\ln 2$

Lôgarit tự nhiên cơ số e

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{i!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots =\frac{1}{e}$

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots =e$

Tổng dải số hàm số lượng giác

$cos=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

${\displaystyle }$

$sin=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$