Hoán đổi Laplace

Hoán đổi Laplace là phép toán giải tích dùng hoán đổi tích phân của hàm số f(t)} từ miền thời gian sang miền tần số phức F(s)

Toán và ứng dụng Hoán đổi Laplace

Hoán đổi tích phân		Công thức toán	Ứng dụng
Hoán đổi Laplace	$ℒ\{f(t)\}->F(s)$	$ℒ\{f(t)\}=F(s)=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$	$f(t)=\frac{d^n}{d{t}^n}->F(s)=s^n$ $f(t)={\int }^{n}d{t}^n->F(s)=\frac{1}{s^n}$

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.

${ℒ}^{-1}\{F(s)\}=f(t)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma -i\mathrm{\infty }}{\overset{\gamma +i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{st}F(s)ds$

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).

Tính chất của biến đổi Laplace

Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}$

$g(t)={ℒ}^{-1}\{G(s)\}$

Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:

TÍNH CHẤT	MIỀN THỜI GIAN	MIỀN TẦN SỐ
Tuyến tính	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$
Đạo hàm trong miền tần số	$tf(t)$	$-F^{\prime }(s)$
Đạo hàm bậc n trong miền tần số	$t^{n}f(t)$	$(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$
Đạo hàm trong miền thời gian	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0^{-})$
Đạo hàm bậc 2	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f^{\prime }(0^{-})$
Tổng quát	$f^{(n)}(t)$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$
Tích phân trong miền tần số	$\frac{f(t)}{t}$	$\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$
Tích phân trong miền thời gian	$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau =u(t)*f(t)$	$\frac{1}{s}F(s)$
Đồng dạng	$f(at)$	$\frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right)$
Biến đổi trong miền tần số	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
Biến đổi trong miền thời gian	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$
Tích chập	$(f*g)(t)$	$F(s)\cdot G(s)$
Hàm tuần hoàn	$f(t)$	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

$f(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)$

Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

$f(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$, trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

Thường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:

$ℒ\{f(t)\}=\underset{0^{-}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

$={\left[\frac{f(t)e^{-st}}{-s}\right]}_{0^{-}}^{+\mathrm{\infty }}-\underset{0^{-}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-st}}{-s}{f}^{\prime }(t)dt$ (Từng phần)

$=[-\frac{f(0)}{-s}]+\frac{1}{s}ℒ\{f^{\prime }(t)\},$

$ℒ\left\{\frac{df}{dt}\right\}=s\cdot ℒ\{f(t)\}-f(0),$

Trong trường hợp 2 bên, ta có

$ℒ\left\{\frac{df}{dt}\right\}=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt=s\cdot ℒ\{f(t)\}.$

Liên hệ với các biến đổi khác

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω hay $s=2\pi fi$

$\begin{array}{ccc}F(\omega )& =& ℱ\{f(t)\}\\ & =& ℒ\{f(t)\}{|}_{s=i\omega }=F(s){|}_{s=i\omega }\\ & =& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ı\omega t}f(t)\mathrm{d}t.\end{array}$

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$, điều này được tính đến trong định nghĩa của biến đổi Fourier.

Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system).

Biến đổi Mellin

Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến. Trong biến đổi Mellin

$G(s)=ℳ\{g(\theta )\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\theta }^{s}g(\theta )\frac{d\theta }{\theta }$

Ta đặt θ = e^-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.

Biến đổi Z

Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế

$z\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{e}^{sT}$, với $T=1/f_s$ là chu kỳ (đơn vị là giây), và $f_s$ là tần số (đơn vị là hertz)

đặt

${\mathrm{\Delta }}_T(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$ là xung lực thử (còn gọi là lực Dirac).

và

$x_q(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}x(t){\mathrm{\Delta }}_T(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$ $=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]\delta (t-nT)$

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t) còn $x[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}x(nT)$ là biểu diễn sự rời rạc của x(t).

Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử x_q(t) là

$X_q(s)=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_q(t)e^{-st}dt$

$=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]\delta (t-nT)e^{-st}dt$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t-nT)e^{-st}dt$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-nsT}.$

Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm x[n].

$X(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$ (thay $z\leftarrow e^{sT}$)

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử

$X_q(s)=X(z){|}_{z=e^{sT}}.$

Biến đổi Borel

Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ.

Mối quan hệ cơ bản

Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân.

Bảng các biến đổi Laplace

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi Laplace của các số hạng

$ℒ\{f(t)+g(t)\}=ℒ\{f(t)\}+ℒ\{g(t)\}$

Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho biến đổi Laplace của hàm đó

$ℒ\{af(t)\}=aℒ\{f(t)\}$

Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).

Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với những hàm chung một biến.

STT	Hàm	Hàm gốc (miền t) $x(t)={ℒ}^{-1}\{X(s)\}$	Hàm ảnh (miền s) $X(s)=ℒ\{x(t)\}$	Miền hội tụ
1	trễ lý tưởng	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$
1a	xung đơn vị	$\delta (t)$	$1$	mọi s
2	trễ mũ n với dịch chuyển tần số	$\frac{(t-\tau {)}^n}{n!}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a	mũ n (cho số nguyên n)	$\frac{t^n}{n!}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.1	mũ q (cho số thực q)	$\frac{t^q}{\mathrm{\Gamma }(q+1)}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.2	bậc thang đơn vị	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2b	bậc thang đơn vị có trễ	$u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2c	dốc	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2d	mũ n với dịch chuyển tần số	$\frac{t^n}{n!}{e}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
2d.1	suy giảm hàm mũ	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
3	tiệm cận hàm mũ	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	$\text{Re}\{s\}>0$
4	sine	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
5	cosine	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
6	hyperbolic sine	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
7	hyperbolic cosine	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
8	hàm sine suy giảm theo hàm mũ	$e^{\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
9	hàm cosine suy giảm theo hàm mũ	$e^{\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s-\alpha }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
10	căn bậc n	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$	$\text{Re}\{s\}>0$
11	logarit tự nhiên	$\ln \left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot u(t)$	$-\frac{t_0}{s}[\ln (t_{0}s)+\gamma ]$	$\text{Re}\{s\}>0$
12	hàm Bessel of the first kind, of order n	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2+{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$ $(n>-1)$
13	hàm Bessel biến đổi loại 1, bậc n	$I_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2-{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2-{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>|\omega |$
14	hàm Bessel loại hai, bậc 0	$Y_0(\alpha t)\cdot u(t)$	$-\frac{2{\sinh }^{-1}(s/\alpha )}{\pi \sqrt{s^2+{\alpha }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
15	hàm Bessel biến đổi loại hai, bậc 0	$K_0(\alpha t)\cdot u(t)$
16	hàm sai số	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot u(t)$	$\frac{e^{s^2/4}(1-\mathrm{erf}(s/2))}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
chú thích: $u(t)$ là hàm bậc thang Heaviside. $\delta (t)$ là hàm delta Dirac. $\mathrm{\Gamma }(z)$ là hàm Gamma. $\gamma$ là hằng số Euler-Mascheroni. $t$, đặc trưng cho thời gian (số thực). $s$ là tần số góc (số phức angular frequency và Re(s) là phần thực của s). $\alpha$, $\beta$, $\tau$, và $\omega$ là các số thực. $n$, là số mũ nguyên.