Chuyển đổi hệ số

Do vậy phương pháp biến đổi một số nguyên, ở hệ thập phân sang hệ nhị phân tương đương, có thể được tiến hành bằng cách chia số này cho 2, và những số dư được viết xuống vào hàng (đơn vị) của nó. Kết quả lại tiếp tục được chia 2, và số dư lại được viết xuống vào hàng (chục) của nó. Phương thức này được tiếp tục nhắc lại cho đến khi thương số của phép chia là 0.

Ví dụ, 118, trong hệ thập phân là:

Phép tính	Số dư
118 ÷ 2 = 59	0
59 ÷ 2 = 29	1
29 ÷ 2 = 14	1
14 ÷ 2 = 7	0
7 ÷ 2 = 3	1
3 ÷ 2 = 1	1
1 ÷ 2 = 0	1

Lược trình các con số dư theo thứ tự từ dưới lên trên, cho chúng ta một số nhị phân 1110110₂.

Để biến đổi một số nhị phân sang hệ thập phân, chúng làm ngược lại. Bắt đầu từ bên trái, nhân đôi kết quả, rồi cộng con số bên cạnh cho đến khi không còn con số nào nữa. Lấy ví dụ để đổi 110010101101₂ sang hệ thập phân:

Kết quả	Số còn lại
0	110010101101
0 × 2 + 1 = 1	10010101101
1 × 2 + 1 = 3	0010101101
3 × 2 + 0 = 6	010101101
6 × 2 + 0 = 12	10101101
12 × 2 + 1 = 25	0101101
25 × 2 + 0 = 50	101101
50 × 2 + 1 = 101	01101
101 × 2 + 0 = 202	1101
202 × 2 + 1 = 405	101
405 × 2 + 1 = 811	01
811 × 2 + 0 = 1622	1
1622 × 2 + 1 = 3245

Kết quả là 3245.

Phần phân số trong một số tự nhiên được biến đổi với cùng một phương pháp, dựa vào phép toán chuyển vị nhị phân để tăng gấp đôi hoặc giảm xuống một nửa giá trị của con số.

Với phân số nhị phân có giá trị "0,11010110101₂", giá trị của con số đầu tiên của phần thập phân là $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$, của con số thứ hai là $\begin{array}{c}(\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}\end{array}$, vân vân. Vậy nếu chúng ta có giá trị 1 ngay sau dấu phẩy thì giá trị của số thập phân ít nhất phải là $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$, và tương tự ngược lại. Nếu chúng ta gấp đôi giá trị của con số đó lên thì giá trị của số phải ít nhất là 1. Điều này khiến chúng ta liên tưởng đến một thuật toán: liên tục nhân đôi con số chúng ta cần biến đổi, ghi lại kết quả nếu kết quả ít nhất là 1, nhưng vứt đi phần số nguyên.

Ví dụ: $\begin{array}{c}(\frac{1}{3})\end{array}$, trong nhị phân là:

Biến đổi	Kết quả
$\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}$	0,
$\begin{array}{c}\frac{1}{3}\times 2=\frac{2}{3}<1\end{array}$	0,0
$\begin{array}{c}\frac{2}{3}\times 2=1\frac{1}{3}\ge 1\end{array}$	0,01
$\begin{array}{c}\frac{1}{3}\times 2=\frac{2}{3}<1\end{array}$	0,010
$\begin{array}{c}\frac{2}{3}\times 2=1\frac{1}{3}\ge 1\end{array}$	0,0101

Vì vậy phần phân số nhắc đi nhắc lại 0,333... tương đương với phần phân số nhắc đi nhắc lại trong hệ nhị phân 0,0101....

hoặc lấy ví dụ số 0,1₁₀, trong hệ nhị phân là:

Biến đổi	Kết quả
0,1	0,
0.1 × 2 = 0,2 < 1	0,0
0.2 × 2 = 0,4 < 1	0,00
0.4 × 2 = 0,8 < 1	0,000
0.8 × 2 = 1,6 ≥ 1	0,0001
0.6 × 2 = 1,2 ≥ 1	0,00011
0.2 × 2 = 0,4 < 1	0,000110
0.4 × 2 = 0,8 < 1	0,0001100
0.8 × 2 = 1,6 ≥ 1	0,00011001
0.6 × 2 = 1,2 ≥ 1	0,000110011
0.2 × 2 = 0,4 < 1	0,0001100110

Đây cũng là một phân số vô hạn tuần hoàn 0,000110011.... Có một điều đáng ngạc nhiên là có những phân số thập phân không tuần hoàn nhưng khi chuyển sang nhị phân, nó lại trở thành một phân số tuần hoàn. Chính vì lý do này mà nhiều người thấy ngạc nhiên khi họ kiểm nghiệm thấy phép cộng 0,1 +... + 0,1 (gồm 10 số hạng) khác với giá trị một trong khi giải toán dùng phép toán phân số (floating point arithmetic). Thực tế cho thấy, phân số nhị phân chỉ không tuần hoàn khi dạng thập phân của nó là thương của phép chia giữa một số nguyên và lũy thừa cơ số $2(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{8}...)$ chứ không phải giữa một số nguyên và bội của $10(\frac{1}{10},\frac{3}{100}...).$

Phương pháp biến đổi sau cùng là cách đổi phân số nhị phân sang thập phân. Khó khăn duy nhất là trường hợp của những phân số tuần hoàn, ngoài ra, phương pháp này có thể được thực hiện bằng cách dịch vị trí của dấu thập phân, làm tròn thành số nguyên, biến đổi như cách ở trên, sau đó chia với số mũ của 2 tương ứng trong hệ thập phân. Lấy ví dụ:

$x$	=	1100	,101110011100...
$x\times 2^6$	=	1100101110	,0111001110...
$x\times 2$	=	11001	,0111001110...
$x\times (2^6-2)$	=	1100010101
$x$	=	(789/62)10

Một cách khác để biến đổi hệ nhị phân sang thập phân nhanh hơn, đối với những người đã quen thuộc với hệ thập lục phân, là làm bằng cách gián tiếp, đầu tiên đổi ($x$ trong hệ nhị phân) sang ($x$ trong hệ thập lục phân), rồi đổi ($x$ trong hệ thập lục phân) sang ($x$ hệ thập phân).