Sách đại số/Đẳng thức

Đẳng Thức Đại Số là một biểu thức đại số bằng nhau có hai vế ngăn cách bởi dấu =

Đẳng thức tích hợp

• $(a+b)\times (a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$
• $(a-b)\times (a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab-b^2=(a-b{)}^2$
• $(a+b)\times (a^2+ab+b^2)=a^3+3(a^2)b+3a(b^2)+b^3=a^3+b^3$
• $(a-b)\times (a^2+ab+b^2)=a^3-3(a^2)b+3a(b^2)-b^3=a^3-b^3$

Đẳng Thức thừa số

• $(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)$
• $(a-b{)}^2=(a-b)\times (a-b)$
• $(a+b{)}^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$
• $(a-b{)}^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Từ trên, ta có,

• $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$

• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Tổng kết

Từ trên ta có các các hằng đẳng thức đại số sau

1. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
2. $(a-b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
3. $(a+b{)}^3=a^3+3(a^2)b+3a(b^2)+b^3$
4. $(a-b{)}^3=a^3-3(a^2)b+3a(b^2)-b^3$
5. $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$
6. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Dạng tổng quát lũy thừa n

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-...+a^2.b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1})$ với n là số lẻ thuộc tập N

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$(a+b+c{)}^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$