Sách giải tích/Phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm bậc n là một phương trình giải tích có dạng tổng quát

$a_n{f}^n(t)+a_{n-1}{f}^{n-1}(t)+...+a_{o}f(t)=0$

Giải phương trình đạo hàm bậc n

Dạng tổng quát

Phương trình đạo hàm bậc n tổng quát có dạng tổng quát

$a{f}^n(t)+bf(t)=0$

Giải phương trình

$f^n(t)=-\frac{b}{a}f(t)$

$sf(t)=-\frac{b}{a}f(t)$

$s=\pm j\omega$

$s=-\alpha$

Với

$\omega =n\sqrt{\frac{b}{a}}$ . n ≥ 2

$\alpha =\frac{b}{a}$ . n = 1

Nghiệm phương trình

$f(t)=A{e}^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$ với n ≥ 2

$f(t)=A{e}^{-\alpha t}$ với n =1

Ứng dụng

• LC nối tiếp

Giải phương trình đạo hàm bậc 2

Dạng tổng quát

Phương trình đạo hàm bậc 2 có dạng tổng quát

$a{f}^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+b{f}^{\text{'}}(t)+cf(t)=0$

Giải phương trình

$a\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)+\frac{d}{dt}f(t)+cf(t)=0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)=-\frac{b}{a}\frac{d}{dt}f(t)-\frac{c}{a}f(t)$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)=-2\alpha \frac{d}{dt}f(t)-\beta f(t)$

Cho nghiệm phương trình

Với $\alpha =\beta$	1 nghiệm số thực	$f(t)=A{e}^{-\alpha t}$
Với $\alpha >\beta$	2 nghiệm số thực	$f(t)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )t}$
Với $\alpha <\beta$	2 nghiệm số phức	$f(t)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$

Với

$A(\alpha )=A{e}^{-\alpha t}$

$\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$

$\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$

$\beta =\frac{c}{a}$

$\alpha =\frac{b}{2a}$

Với $\alpha =0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)=-\beta f(t)$

$f(t)=A{e}^{\sqrt{-\beta }t}=A{e}^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\beta =\frac{1}{T}$

$T=LC$

Ứng dụng

• RLC nối tiếp

Giải phương trình đạo hàm bậc nhứt

Dạng tổng quát

Phương trình đạo hàm bậc nhứt có dạng tổng quát như sau

$a{f}^{\text{'}}(t)+bf(t)=0$

Giải phương trình

$a\frac{d}{dt}f(t)+bf(t)=0$

$\frac{d}{dt}f(t)=-\frac{b}{a}f(t)$

$\int \frac{d}{f(t)}f(t)=-\frac{b}{a}\int dt$

$Lnf(t)=-\frac{b}{a}t+c$

$f(t)=e^{-\frac{b}{a}t+c}$

$f(t)=A{e}^{-\frac{b}{a}t}$

Nghiệm của phương trình là một hàm số lũy thừa e giảm hay Hàm số giảm thiểu

$f(t)=A{e}^{-\frac{b}{a}t}$

Thỏa mản Phương trình đạo hàm giảm thiểu

$a{f}^{\text{'}}(t)+bf(t)=0$

Ứng dụng

• RC nối tiếp

• RL nối tiếp