Sách giải tích/Tổng dải số/Tổng chuổi số Fourier

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau

$\begin{array}{cc}{s}_N(x)& =\stackrel{A_0}{\overbrace{a_0}}/2+\sum _{n=1}^N(\stackrel{A_n\sin ({\varphi }_n)}{\overbrace{a_n}}\cos \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)+\stackrel{A_n\cos ({\varphi }_n)}{\overbrace{b_n}}\sin \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)),\\ \end{array}$

Với

$\begin{array}{cc}{a}_0& =A_0\\ a_n& =A_n\sin ({\varphi }_n)& \text{for }n\ge 1\\ b_n& =A_n\cos ({\varphi }_n)& \text{for }n\ge 1\end{array}$

Giá trị hằng số a,b

$\begin{array}{ccc}{a}_n& =\frac{2}{P}\underset{x_0}{\overset{x_0+P}{\int }}s(x)\cdot \cos \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)dx& \text{for }n\ge 0\\ b_n& =\frac{2}{P}\underset{x_0}{\overset{x_0+P}{\int }}s(x)\cdot \sin \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)dx& \text{for }n>0\end{array}$

Dạng tổng của lũy thừa

$\begin{array}{cc}{s}_N(x)& =\sum _{n=-N}^N{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{P}},\end{array}$

Với

$c_n\triangleq \{\begin{array}{cc}\frac{A_n}{2i}{e}^{i{\varphi }_n}=\frac{1}{2}(a_n-i{b}_n)& \text{for }n>0\\ \frac{1}{2}{A}_0=\frac{1}{2}{a}_0& \text{for }n=0\\ \frac{-A_{-n}}{2i}{e}^{-i{\varphi }_{-n}}=\frac{1}{2}(a_{-n}+i{b}_{-n})=c_{|n|}^{*}& \text{for }n<0.\end{array}$

Giá trị hằng số c

$c_n=\frac{1}{P}\underset{x_0}{\overset{x_0+P}{\int }}s(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{P}}dx\text{for }n\in \mathbb{N}$

Ứng dụng

Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$