Sách kỹ sư/Sách công thức toán giải tích

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\mathrm{\Delta }x=x-x_o$

Thay đổi biến số y

$\mathrm{\Delta }y=y-y_o$ 
$\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$   

Tỉ lệ thay đổi biến số

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y-y_o}{x-x_o}$
$\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}$

Đạo hàm

$\frac{d}{dt}f(t)=f^{\text{'}}(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\sum \frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f(t)}{\mathrm{\Delta }t}$

Tích phân

Tích phân bất định

$\int f(t)dt=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum (f(t)+\frac{\mathrm{\Delta }f(t)}{2})\mathrm{\Delta }t=F(t)+C$

Tích phân xác định

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)-F(a)$

Hoán chuyển tích phân

$f(x)$	$F(s)$	$F(j\omega )$
$f(x)$	$\int f(x)e^{-sx}(x)$	$\int f(x)e^{-j\omega x}(x)$
$\frac{d^n}{d{x}^n}$	$s^n$	$j{\omega }^n$
$\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j{\omega }^{n}f(x)$

Phương trình và Hàm số sóng sin

Phương trình đạo hàm bạc n

$a{f}^n(t)+bf(t)=0$

$s^{n}f(t)+\frac{b}{a}f(t)=0$

$s^n=-\frac{b}{a}$

$s=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}=\pm j\sqrt[n]{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$

$f(t)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

$\omega =\sqrt[n]{\frac{b}{a}}$

n ≥ 2

Phương trình đạo hàm bạc 2

$a{f}^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+b{f}^{\text{'}}(t)+cf(t)=0$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+\frac{b}{a}{f}^{\text{'}}(t)+\frac{c}{a}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+\frac{b}{a}sf(t)+\frac{c}{a}f(t)=0$

$s^2+2\alpha s+\beta =0$

$s=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$

$\alpha =\frac{b}{2a}$

$\beta =\frac{c}{a}$

$\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$

Ứng dụng

Lực

Lực

$F=ma=m\frac{d}{dt}v(t)==\frac{d}{dt}p(t)=m\frac{d^2}{d{t}^2}s(t)$

Chuyển động cong

Tính Chất Chuyển Động	Ký Hiệu	Công Thức	Đơn vị
Gia tốc	$a$	$\frac{d}{dt}v(t)$	m/s2
Vận tốc	$v$	$v(t)$	m/s
Đường dài |	$s$	$\int v(t)dt$	m
Lực	$F$	$m\frac{d}{dt}v(t)$	N
Năng lực	$W$	$F\int v(t)dt$	N m
Năng lượng	$E$	$\frac{F}{t}\int v(t)dt$	N m/s

Chuyển động có vận tỐc chuyển động v(t)

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	$\frac{d}{dt}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	$\frac{1}{2}a{t}^2+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	$\frac{a{t}^2}{2}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	$\frac{t^2}{2}$

Chuyển động có đường dài chuyển động s(t)

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	$\frac{d}{dt}s(t)$	$\frac{d^2}{d{t}^2}s(t)$
Vector đường thẳng ngang		$\overrightarrow{X}$ $X\overrightarrow{i}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{X}$ $\frac{dX}{dt}\overrightarrow{i}$ $v_x\overrightarrow{i}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{X}$ $\frac{d^{2}X}{d{t}^2}\overrightarrow{i}$ $a_x\overrightarrow{i}$
Vector đường thẳng dọc		$\overrightarrow{Y}$ $Y\overrightarrow{j}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Y}$ $\frac{dY}{dt}\overrightarrow{j}$ $v_y\overrightarrow{j}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Y}$ $\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}\overrightarrow{j}$ $a_y\overrightarrow{j}$
Vector đường thẳng nghiêng		$\overrightarrow{Z}$ $Z\overrightarrow{k}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Z}$ $\frac{dZ}{dt}\overrightarrow{k}$ $v_z\overrightarrow{k}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Z}$ $\frac{d^{2}Z}{d{t}^2}\overrightarrow{k}$ $a_z\overrightarrow{k}$
Vector đường tròn		$\overrightarrow{R}$ $R\overrightarrow{r}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{R}$ $\frac{d}{dt}R\overrightarrow{r}$ $R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d}{dt}R$ $R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{R}$ $\frac{d^2}{d{t}^2}R\overrightarrow{r}$ $R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d^2}{d{t}^2}R$ $R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}$

Dao động sóng sin

Dao động lò xo lên xuống

$g=\frac{d^2}{d{t}^2}y(t)=-\frac{k}{m}y(t)$

$y(t)=Asin\omega t$

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

Dao động lò xo qua lại

$a=\frac{d^2}{d{t}^2}x(t)=-\frac{k}{m}x(t)$

$x(t)=Asin\omega t$

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

Dao động đong đưa con lắc

$g=\frac{d^2}{d{t}^2}\theta (t)=-\frac{\theta }{m}y(t)$

$\theta (t)=Asin\omega t$

$\omega =\sqrt{\frac{l}{m}}$

Điện

Điện AC

$i(t)=\frac{d}{dt}Q(t)$

$Q(t)=\int i(t)dt$

$v(t)=\frac{d}{d}\frac{W(t)}{Q(t)}$

$W(t)=\int v(t)Q(t)dt=\int v(t)i(t)dt$

$U(t)=\frac{d}{dt}W(t)=\frac{d}{dt}\int v(t)i(t)dt$

Điện trở

$v(t)=i(t)x$

$i(t)=\frac{v(t)}{x}$

$X=\frac{v(t)}{i(t)}=0$

$Z=R+X=R\mathrm{\angle }0=R=R$

Cuộn từ

$v(t)=L\frac{d}{dt}i(t)$

$i(t)=\frac{1}{L}\int v(t)dt$

$X=\frac{v(t)}{i(t)}=\omega L\mathrm{\angle }90=j\omega L=sL$

$Z=R+X=R\mathrm{\angle }0+\omega L\mathrm{\angle }90=R+j\omega L=R+sL$

Tụ điện

$v(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt$

$i(t)=C\frac{d}{dt}v(t)$

$X=\frac{v(t)}{i(t)}=\frac{1}{\omega C}\mathrm{\angle }-90=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{sC}$

$Z=R+X=R\mathrm{\angle }0+\frac{1}{\omega C}\mathrm{\angle }-90=R+\frac{1}{j\omega C}=R+\frac{1}{sC}$

Mạch điện RLC nôi tiếp

Mạch điện RLC nôi tiếp với R≠0

Ỏ trạng thái cân bằng

$V_L+V_C+V_R=0$

$L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int idt+iR=0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}i+\frac{R}{L}\frac{d}{dt}i+\frac{1}{LC}i=0$

$s^{2}i+\frac{R}{L}si+\frac{1}{LC}i=0$

$s^2+2\alpha s+\beta =0$

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(t)=A{e}^{st}$
$\alpha$	$\alpha =\beta$	$i=A{e}^{-\alpha t}=A(\alpha )$
$\alpha \pm \lambda$	$\alpha >\beta$	$i=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$
$\alpha \pm j\omega$	$\alpha >\beta$	$i=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )t}=A(\alpha )sin\omega t$

$A(\alpha )=A{e}^{-\alpha t}$

$\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$

$\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$

$\beta =\frac{1}{LC}$

$\alpha =\frac{R}{2L}$

Ở trạng thái đồng bộ

$Z_t=Z_L+Z_C+Z_R=R$

$Z_C+Z_L=0$

$\omega L=-\frac{1}{\omega C}$

${\omega }_o=\sqrt{-\frac{1}{LC}}=\pm j\sqrt{\frac{1}{LC}}=\pm j\sqrt{\frac{1}{T}}$

$T=LC$

$i(\omega =0)=0$

$i(\omega ={\omega }_o)=\frac{v}{R}$

$i(\omega =00)=0$

Mạch điện LC nối tiếp với R=0

Với R=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện LC nối tiếp

Ở trạng thái cân bằng

$V_L+V_C=0$

$L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int idt=0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}i+\frac{1}{LC}i=0$

$s^{2}i+\frac{1}{T}i=0$

$s^2=-\frac{1}{T}$

$s=\sqrt{-\frac{1}{T}}=\pm j\sqrt{\frac{1}{T}}=\pm j\omega$

$i=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\omega =\sqrt{\frac{1}{T}}$

$T=LC$

• Ở trạng thái đồng bộ

$Z_C=-Z_L$ .

${\omega }_o=\pm j\sqrt{\frac{1}{T}}$

$T=LC$

$V_C=-V_L$

$v(\theta )=A\sin ({\omega }_{o}t+2\pi )-A\sin ({\omega }_{o}t-2\pi )$

Mạch điện RC nối tiếp với L=0

Với L=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện RC nối tiếp

$v_C+v_R=0$

$C\frac{dv}{dt}+\frac{v}{R}=0$

$\frac{dv}{dt}+\frac{1}{RC}v=0$

$sv+\frac{1}{T}v=0$

$s=-\frac{1}{T}=-\alpha$

$T=RC$

$v=A{e}^{st}=A{e}^{-\alpha t}$

Mạch điện RL nối tiếp với C=0

Với C=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện RL nối tiếp

$v_L+v_R=0$

$L\frac{di}{dt}+iR=0$

$\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0$

$si+\frac{1}{T}i=0$

$s=-\frac{1}{T}=-\alpha$

$T=\frac{L}{R}$

$i=A{e}^{st}=A{e}^{-\alpha t}$

Mạch điện của cuộn từ L với C, R=0

Với R=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện của cuộn từ L

Ở trạng thái cân bằng

${\mathrm{\nabla }}^{2}E=-\beta E$

${\mathrm{\nabla }}^{2}B=-\beta B$

$E=A\sin \omega t$

$B=A\sin \omega t$

$\omega =\sqrt{\beta }=\sqrt{\frac{1}{T}}=\sqrt{\frac{1}{\mu ϵ}}=C$

$T=\mu ϵ$

Ở trạng thái đồng bộ

${\mathrm{\nabla }}^{2}E=-{\beta }_{o}E$

${\mathrm{\nabla }}^{2}B=-{\beta }_{o}B$

$E=A\sin {\omega }_{o}t$

$B=A\sin {\omega }_{o}t$

$\omega =\sqrt{{\beta }_o}=\sqrt{\frac{1}{T_o}}=\sqrt{\frac{1}{{\mu }_o{ϵ}_o}}=C$

$T_o={\mu }_o{ϵ}_o$

Điện từ

Điện từ

Định luật Gauss	Từ thông	${\mathrm{\Phi }}_E={\oint }_S𝐄\cdot d𝐀=\frac{1}{{ϵ}_o}\underset{V}{\int }\rho dV=\frac{Q_A}{{ϵ}_o}$ ${\mathrm{\Phi }}_B={\oint }_S𝐁\cdot d𝐬={\mu }_0{I}_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}$
Định luật Ampere	Từ cảm	$B=Li=\frac{\mu }{A}i$
Định luật Lentz	Từ cảm ứng	$-\varphi =-NB=-NLi$
Định luật Faraday	Điện từ cảm ứng	$-ϵ=-\int Edl=-\frac{d{\varphi }_B}{dt}=-NL\frac{di}{dt}$
Định luật Maxwell-Ampere	Dòng điện	$i={\oint }_C𝐇\cdot \mathrm{d}𝐥=\underset{S}{\iint }𝐉\cdot \mathrm{d}𝐀+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{S}{\iint }𝐃\cdot \mathrm{d}𝐀$ ${\oint }_S𝐁\cdot d𝐬={\mu }_0{I}_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}+\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{𝐄}}{dt}$

Trường điện từ

H ≠ 0

$\mathrm{\nabla }\cdot E=0$
$\mathrm{\nabla }\times E=-\frac{1}{T}E$
$\mathrm{\nabla }\cdot B=0$
$\mathrm{\nabla }\times B=-\frac{1}{T}B$
$T=\mu ϵ$

$\mathrm{\nabla }\cdot E=\rho$
$\mathrm{\nabla }\times E=-\mathrm{\nabla }B$
$\mathrm{\nabla }\cdot B=0$
$\mathrm{\nabla }\times B=J+\mathrm{\nabla }B$

H = 0

$\mathrm{\nabla }\cdot E=0$
$\mathrm{\nabla }\times E=-\frac{1}{T_o}E$
$\mathrm{\nabla }\cdot B=0$
$\mathrm{\nabla }\times B=-\frac{1}{T_o}B$
$T_o={\mu }_o{ϵ}_o$

Điện nhiệt

Điện trở

Năng lượng nhiệt trong vật

$W_i=i^{2}R(T)$

$R(T)=R_o+nT$

$R(T)=R_o{e}^{nT}$

Năng lượng nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh

$W_e=pv=mC\mathrm{\Delta }T$

Cuộn từ , H = 0

Năng lượng nhiệt trong vật

$W_e=W_H+W_B=i^{2}R(T)+\frac{1}{2}L{i}^2$

Năng lượng nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh

$W_e=pv=p{\omega }_o=p\sqrt{\frac{1}{{\mu }_o{ϵ}_o}}=pC=p{\lambda }_o{f}_o=h{f}_o$

Cuộn từ , H ≠ 0

Năng lượng nhiệt trong vật

$W_e=\int Lidt=\frac{1}{2}L{i}^2$

Năng lượng nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh

$W_e=pv=p\omega =p\sqrt{\frac{1}{\mu ϵ}}=pC=p\lambda f=hf$