Sách toán/Hình/Hình tam giác

Hình tam giác là hình có 3 điểm , 3 cạnh và 3 góc với tổng số góc bằng 180^o

3 điểm A,B,C

3 cạnh AB,BC,CA

3 góc $\mathrm{\angle }A$,$\mathrm{\angle }B$,$\mathrm{\angle }C$

Tổng số góc bằng 180^o

Loại tam giác

Tam giác thường

Tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau khi có

1. 3 cạnh bằng nhau (CCC)
2. 3 góc bằng nhau (GGG)
3. 2 cạnh bằng nhau và góc giửa 2 cạnh bằng nhau bằng nhau (GCG)

Tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng khi có

1. Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng.
2. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
3. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng.

Các tính chất khác:

1. Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
2. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Định lý Sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$

Thí dụ 1

Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°

Theo định lý sin ta có

$\frac{\sin A}{20}=\frac{\sin 40^{\circ }}{24}.$

$A=\arcsin \left(\frac{20\sin 40^{\circ }}{24}\right)\approx 32.39^{\circ }.$

Thí dụ 2

Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\frac{180^{\circ }-\mathrm{\angle }C}{2}=90-\frac{\mathrm{\angle }C}{2}$

và

$\frac{R}{\sin A}=\frac{\text{c}}{\sin C}\text{ v }\frac{R}{\sin B}=\frac{\text{c}}{\sin C}$

$\frac{\text{c}\sin A}{\sin C}=R\text{ v }\frac{\text{c}\sin B}{\sin C}=R.$

Định lý Cos

Trong lượng giác, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc tương ứng:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Định lý cos khái quát định lý Pytago (định lý Pytago là trường hợp riêng trong tam giác vuông): nếu γ là góc vuông thì Bản mẫu:Nowrap và định lý cos trở thành định lý Pytago:

$c^2=a^2+b^2$

Tam giác vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng $90^o$

c - Cạnh huyền

a - Cạnh đối

b - Cạnh kề

• 3 điểm . $A,B,C$
• 3 cạnh . $AB,BC,CA$
• 3 góc . $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$
• Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90^o
• $\mathrm{\angle }C=90^o$
• $\overline{AC}\perp \overline{CB}$

• Chu vi

$a+b+c$

• Diện tích

$\frac{ba}{2}$

• Thể tích

$ab\frac{h}{2}$

Định lý Pytago

Định lý Pytago phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình

$a^2+b^2=c^2$ 

Trong đó,

c là chiều dài của cạnh huyền

a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.

Tương quan các cạnh và góc

Hàm số góc lượng giác	Tỉ lệ cạnh	Đồ thị
Cosine	$\frac{X}{Z}=\cos \theta$
Sine	$\frac{Y}{Z}=\sin \theta$
Cosine	$\frac{1}{X}=\sec \theta$
Cosecant	$\frac{1}{Y}=\csc \theta$
Tangent	$\frac{Y}{X}=\tan \theta$
Cotangent	$\frac{X}{Y}=\cot \theta$

Tam giác vuông trên đồ thị XY

Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang	$X$	$x-x_o$	$\mathrm{\Delta }x$	$Z\cos \theta$
Độ dài cạnh dọc	$Y$	$y-y_o$	$\mathrm{\Delta }y$	$Z\sin \theta$
Độ dóc	$Z=\frac{Y}{X}$	$\frac{y-y_o}{x-x_o}$	$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$	$Tan\theta$
Độ nghiêng	$\theta ={\tan }^{-1}Z$	$\theta ={\tan }^{-1}\frac{Y}{X}$

Vector đương thẳng ngang	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$	$(x-x_o)\overrightarrow{i}$	$Z\cos \theta \overrightarrow{i}$	$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{Z}$
Vector đương thẳng dọc	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{i}$	$(y-y_o)\overrightarrow{i}$	$Z\cos \theta \overrightarrow{i}$	$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{Z}$
Vector đương thẳng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$	$(x-x_o)\overrightarrow{i}+(y-y_o)\overrightarrow{j}$	$(Z\cos \theta )\overrightarrow{i}+(Z\sin \theta )\overrightarrow{j}$	$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{Z}+\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{Z}$

Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z	$Y=ZX$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }Ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$
Diện tích dưới hình	$s=X(y_o+\frac{Y}{2})=X(y_o+\frac{ZX}{2})=X(y-\frac{ZX}{2})=\frac{y^2-y_o^2}{2Z}$

Tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là một tam giác có 2 cạnh bằng nhau với một góc vuông nằm giữa 2 cạnh bằng nhau.

$AB=AC$

$\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=45^o$

$\mathrm{\angle }A=90^o$

• Chu vi

$a+a+b=2a+b$

• Diện tích

$\frac{b}{2}\times h$

• Thể tích

${\displaystyle }$

Tam giác cân

Trong hình học, tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau

Tam giác có 2 cạnh và 2 góc bằng nhau .

• 2 cạnh bằng nhau . $b=b$
• 2 góc bằng nhau . $\alpha =\alpha$

• Chu vi

$b+b+\alpha =2b+\alpha$

• Diện tích

$\frac{b}{2}\times h$

• Thể tích

${\displaystyle }$

Tam giác đều

Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau, và bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.

Tam giác có 3 cạnh và 3 góc bằng nhau .

• 3 cạnh bằng nhau . $AB=BC=CA$
• 3 cạnh góc nhau . $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\frac{180^o}{3}=60^o$

Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng $a$, dùng định lý Pytago chứng minh được:

• Diện tích

$A=a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$

• Chu vi

$p=3a$

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp

$R=a\frac{\sqrt{3}}{3}$

• Bán kính đường tròn nội tiếp

$r=a\frac{\sqrt{3}}{6}$

• Chiều cao của tam giác đều

$h=a\frac{\sqrt{3}}{2}$.