Sách toán/Phép toán vector

Không gian 2 chiều

Cộng vector

Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là một vectơ được xác định theo quy tắc:

Quy tắc 3 điểm

di chuyển vectơ $\overrightarrow{CD}$ sao cho điểm đầu C của $\overrightarrow{CD}$ trùng với điểm cuối B của $\overrightarrow{AB}$: $C\equiv B$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng

Quy tắc hình bình hành

di chuyển vectơ $\overrightarrow{CD}$ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, chiều từ gốc A đến điểm cuối

Tính chất Vectơ	Công thức
Tính chất giao hoán	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
Tính chất kết hợp	$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
Tính chất của vectơ-không	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$
Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có:	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
I là trung điểm đoạn thẳng AB	$\iff \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$
G là trọng tâm $△ABC$	$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Nhân vector

Với hai vectơ bất kì, với hằng số h và k, ta có

• $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$
• $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$
• $h(k\overrightarrow{a})=(hk)\overrightarrow{a}$
• $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$
• $(-1).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

Không gian 3 chiều

Chấm 2 vector

Tích vô hướng của hai vectơ A = [A₁, A₂,..., A_n] và B = [B₁, B₂,..., B_n] được định nghĩa như sau

$𝐀\cdot 𝐁=\sum _{i=1}^n{A}_i{B}_i=A_1{B}_1+A_2{B}_2+\cdots +A_n{B}_n$

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert \cos (\theta ),$ . Trong đó θ là góc giữa A và B.

Trường hợp đặc biệt,

• Nếu A và B trực giao thì góc giữa chúng là 90°, do đó:

$𝐀\cdot 𝐁=0.$

• Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert$

Suy ra tích vô hướng của vectơ A và chính nó là:

$𝐀\cdot 𝐀={\Vert 𝐀\Vert }^2,$

ta có:

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{𝐀\cdot 𝐀},$

là khoảng cách Euclid của vectơ, luôn có giá trị dương khi A khác 0.

Cho vectơ A = [A₁, A₂,..., A_n] ta có

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{\sum _{k=1}^n{A}_k^2}$

Cho a, b, và c là các vectơ và r là đại lượng vô hướng, tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:.

1. Giao hoán:

   $𝐚\cdot 𝐛=𝐛\cdot 𝐚,$

   được suy ra từ định nghĩa (θ góc giữa a và b):

   $𝐚\cdot 𝐛=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \cos \theta =\Vert 𝐛\Vert \Vert 𝐚\Vert \cos \theta =𝐛\cdot 𝐚.$

2. Phân phối cho phép cộng vectơ:

   $𝐚\cdot (𝐛+𝐜)=𝐚\cdot 𝐛+𝐚\cdot 𝐜.$

3. Dạng song tuyến:

   $𝐚\cdot (r𝐛+𝐜)=r(𝐚\cdot 𝐛)+(𝐚\cdot 𝐜).$

4. Phép nhân vô hướng:

   $(c_1𝐚)\cdot (c_2𝐛)=c_1{c}_2(𝐚\cdot 𝐛).$

5. Không có tính kết hợp bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng (a ⋅ b) và vectơ (c) không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: (a ⋅ b) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c) là không hợp lệ.
6. Trực giao:

   Hai vectơ khác vectơ không: a và b trực giao khi và chỉ khi a ⋅ b = 0.

   Hai vectơ trực giao trong không gian Euclid còn được gọi là vuông góc.

7. Không có tính khử:

   Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu

   ab = ac, thì b luôn luôn bằng c nếu a khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử:

   Nếu a ⋅ b = a ⋅ c và a ≠ 0, thì ta có: a ⋅ (b − c) = 0 theo như luật phân phối; suy ra a trực giao với (b − c), tức là (b − c) ≠ 0, và dẫn đến b ≠ c.

8. Quy tắc đạo hàm tích: Nếu a và b là hàm số, thì đạo hàm của a ⋅ b là a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

Tam giác có cạnh vectơ a and b, và góc giữa 2 vectơ là θ.

Hai vectơ a và b có góc giữa hai vectơ là θ (như trong hình bên phải) tạo thành một tam giác có cạnh thứ ba là c = a − b. Tích vô hướng của c và chính nó là Định lý cos:

$\begin{array}{cc}𝐜\cdot 𝐜& =(𝐚-𝐛)\cdot (𝐚-𝐛)\\ & =𝐚\cdot 𝐚-𝐚\cdot 𝐛-𝐛\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛\\ & =a^2-𝐚\cdot 𝐛-𝐚\cdot 𝐛+b^2\\ & =a^2-2𝐚\cdot 𝐛+b^2\\ c^2& =a^2+b^2-2ab\cos \theta \\ \end{array}$

Chéo 2 vector

Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải

Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải.

Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$, định nghĩa bởi:

$𝐚\times 𝐛=\widehat{𝐧}\left|𝐚\right|\left|𝐛\right|\sin \theta$

với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$, khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

$[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]=(\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|)$

Ứng dụng

Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.

• Diện tích hình bình hành ABCD: $S=|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}]|=AB.AD.sin(A)$
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D': $V=|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}]\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}|$
• 2 vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương $\iff$ $[\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}]=\overrightarrow{0}$
• 3 vector $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\iff$ $[\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$