Sách công thức/Sách công thức Toán/Sách công thức đại số/Công thức toán hàm số/Công thức biểu diển hàm số bằng tổng dải số

Tổng dải số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+...=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+...$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_0$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$

$f^{\text{'}}(0)=a_1$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$

$a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$

$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$

$a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin (x)$

$f(x)=\sin (x)$	$f(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\sin (x)=0+x(1)+\frac{x^2}{2!}(0)+\frac{x^3}{3!}(-1)+\frac{x^5}{5!}(1)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

• $f(x)=\cos (x)$

$f(x)=\cos (x)$	$f(0)=\cos (0)=1$
$f^{\text{'}}(x)=-\sin (x)$	$f^{\text{'}}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\cos (x)=1+x(0)+\frac{x^2}{2!}(-1)+\frac{x^3}{3!}(0)+\frac{x^4}{4!}(1)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}$