Sách giải tích/Đạo hàm/Phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm bậc hai

Phương trình sóng sin đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{n}f(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$

$s^n=-\frac{b}{a}$

Giải phương trình đạo hàm

$s=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$

$f(x)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2

Phương trình sóng sin không đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+b\frac{d}{dx}f(x)+cf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{2}f(x)+\frac{b}{a}sf(x)+\frac{c}{a}f(x)=0$

$s^2+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình đạo hàm

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(x)=A{e}^{sx}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(x)=A{e}^{-\alpha x}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ < $\beta$	$f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ > $\beta$	$f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$

$\alpha =\frac{b}{2a}$

$\beta =\frac{c}{a}$

$\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$

$\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$

Phương trình đạo hàm bậc nhứt

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a\frac{d}{dx}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$sf(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$

$s=-\frac{b}{a}$

$f(x)=A{e}^{sx}=A{e}^{-\frac{b}{a}x}=A{e}^{-\alpha x}$