Sách toán ứng dụng/Toán chuyển động sóng

Hoán chuyển Laplace and Fourier

Hoán chuyển tích phân	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
$f(t)$	$F(s)=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$	$F(j\omega )=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-j\omega t}dt$

Hoán chuyển đạo hàm	Hệ Laplace	Hệ Fourier
$\frac{d^n}{d{t}^n}$	$s^n$	$j{\omega }^n$

Hoán chuyển đạo hàm	Hệ Laplace	Hệ Fourier
${\int }^{n}d{t}^n$	$\frac{1}{s^n}$	$\frac{1}{j{\omega }^n}$

Giải phương trình đạo hàm

Giải phương trình đạo hàm bậc n

$a{f}^n(t)+bf(t)=0$

$s^{n}f(t)+\frac{b}{a}f(t)=0$

$s^n=-\frac{b}{a}$

s	n	$f(t)=A{e}^{st}$
$-\alpha =-\frac{b}{a}$	n = 1	$f(t)=A{e}^{-\alpha t}$
$\pm j\omega =\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$	n ≥ 2	$f(t)=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

Giải phương trình đạo hàm bậc 2

$a{f}^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+b{f}^{\text{'}}(t)+cf(t)=0$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+\frac{b}{a}{f}^{\text{'}}(t)+\frac{c}{a}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+2\alpha sf(t)+\beta f(t)=0$

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(t)=A{e}^{st}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(t)=A{e}^{-\alpha t}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ > $\beta$	$f(t)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ < $\beta$	$f(t)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$

Với

$\alpha =\frac{b}{2a}$

$\beta =\frac{c}{a}$

$\lambda =\sqrt{\lambda -\beta }$

$\omega =\sqrt{\beta -\lambda }$

Từ trên,

Khi $a=0$

$b{f}^{\text{'}}(t)+cf(t)=0$

$f^{\text{'}}(t)+\frac{c}{b}f(t)=0$

$sf(t)+\alpha f(t)=0$

$s=-\alpha =-\frac{c}{b}$

$f(t)=A{e}^{st}=A{e}^{-\alpha t}$

Khi $b=0$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+\frac{c}{a}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+\beta f(t)=0$

$s^2=-\beta =-\frac{c}{a}$

$s=\sqrt{-\beta }=\pm j\sqrt{\beta }=\pm j\omega$

$f(t)=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

Khi $c=0$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+\frac{b}{a}{f}^{\text{'}}(t)=0$

$s^{2}f(t)+s\frac{b}{a}f(t)=0$

$s(s+\frac{b}{a})=0$

$s=0$ → $f(t)=A{e}^{st}=A{e}^{0t}=A$

$s=-\frac{b}{a}$ → $f(t)=A{e}^{st}=A{e}^{-\frac{b}{a}t}$

Phương trình đạo hàm và hàm số nghiệm phương trình

	Phương trình đạo hàm	Hàm số	Ý nghỉa
	$f^{\text{'}}(t)+\alpha f(t)=0$	$f(t)=A{e}^{-\alpha t}$	hàm số suy giảm
	$f^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $\omega =\sqrt{\beta }$	Hàm số sóng sin đều
	$f^n(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=A{e}^{-j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $\omega =n\sqrt{\beta }$ và n ≥ 2	Hàm số sóng sin đều
	$f^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+2\alpha f^{\text{'}}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$ . Với $\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$	Hàm số sóng sin giảm dần đều