Sách đại số/Dải số/Tổng dải số/Tổng chuổi số Fourier

Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó của Euler, d'Alembert và Daniel Bernoulli. Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt, các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811, cuốn Théorie analytique de la chaleur của ông được công bố vào năm 1822. Theo quan điểm của toán học hiện đại, các kết quả của Fourier có phần không chính thức liên quan đến sự không hoàn chỉnh trong khái niệm hàm số và tích phân vào đầu thế kỉ XIX. Sau đó, Dirichlet và Riemann đã diễn đạt lại các công trình của Fourier một cách chính xác hơn và hoàn chỉnh hơn.

Trong toán học, chuỗi Fourier (được dặt tên theo nhà toán học Joseph Fourier) của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng e^jnx, trong đó, e là số Euler và j là đơn vị số ảo.Theo công thức Euler, các chuỗi này có thể được biểu diễn một cách tương đương theo các hàm sin và hàm cos. Một cách tổng quát, một chuỗi hữu hạn của các hàm lũy thừa của số ảo được gọi là một chuỗi lượng giác.

Tổng chuổi số Fourier

Dạng tổng quát

Dạng tổng quát Tổng chuổi số Fourier của hàm số $f(x)$ có chu kỳ $2\pi$ và số trước biến số $a_n$ and $b_n$

$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\cdots (1)$

Với

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx$

Hàm số biểu diển bằng Tổng chuổi số Fourier sẻ có dạng tổng quát

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

Dạng sin

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}$

Với

$b_n=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

Dạng cos

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos \frac{n\pi x}{L}$

Với

$a_n=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx$

Biến đổi Fourier

t sang f

Biến đổi Fourier từ t sang f

$\hat{F}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i2\pi tf}dt$...

Biến đổi Fourier từ f sang t

$F(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{F}(f)e^{i2\pi tf}df$ ...

In the textbooks of universities, the Fourier transform is usually introduced with the variable Angular frequency $\omega$. In other word, $\xi \to \omega =2\pi \xi$ is substituted to (1) and (2) in the books. In that case, the Fourier transform is written in two different ways.

t sang ω

Cho $f(x)=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ và $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t)|dt\le M$.

Biến đổi Fourier từ t sang ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

Biến đổi Fourier từ ω sang t

$\hat{f}(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt$