Sách giải tích/Tổng số/Tổng chuổi số Pascal

Dạng tổng quát

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Hằng số trước biến số x

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1