Sách hình học/Hình tam giác/Tam giác đều

Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau, và bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.

Tam giác có 3 cạnh và 3 góc bằng nhau .

• 3 cạnh bằng nhau . $AB=BC=CA$
• 3 cạnh góc nhau . $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C=\frac{180^o}{3}=60^o$

• Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều
• Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều
• Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều
• Tam giác có 2 góc bằng 60 độ là tam giác đều

Chu vi Diện tích Thể tích

Chu vi	$AB+BC+CA=3C$
Diện tích	$\frac{C}{2}\times h$
Thể tích	$AB\times BC\times CA=C^3$

Tính chất

Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng $a$, dùng định lý Pytago chứng minh được:

• Diện tích: $A=a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$
• Chu vi: $p=3a$
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=a\frac{\sqrt{3}}{3}$
• Bán kính đường tròn nội tiếp $r=a\frac{\sqrt{3}}{6}$
• Trọng tâm của tam giác cũng là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
• Chiều cao của tam giác đều $h=a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t ta có:

$3(p^4+q^4+t^4+a^4)=(p^2+q^2+t^2+a^2{)}^2$.

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là d, e, và f, thì d+e+f = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là p, q, và t, thì

$4(p^2+q^2+t^2)=5a^2$

và

$16(p^4+q^4+t^4)=11a^4$.

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, ta có

$p=q+t$

và

$q^2+qt+t^2=a^2;$

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài z và PD có độ dài y, thì

$z=\frac{t^2+tq+q^2}{t+q},$

và cũng bằng $\frac{t^3-q^3}{t^2-q^2}$ nếu t ≠ q; và

$\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y}.$