Sách toán kỹ sư

Ký số

Loại Ký số	Biểu tượng số
Ký số La Mã	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Ký số Ả rập	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ký số Trung quốc	-	=
Giá trị	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Số đại số

Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số.

Loai số đại số và Phép toán đại số

Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số đại số	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Số tự nhiên		$N$	$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
/Số chẳn/	Mọi số tự nhiên chia hết cho 2	$2n$	$2,4,6,$
Số lẻ	Mọi số tự nhiên không chia hết cho 2	$2n+1$	$1,3,5,7,9$
Số nguyên tố	Mọi số tự nhiên chia hết cho 1 và cho chính nó	$p$	$1,3,5,7$
/Số nguyên/
/Phân số/
/Số phức/

Phép toán đại số

Các phép toán thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
/Toán cộng/	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
/Toán trừ/	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
/Toán nhân/	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
/Toán chia/	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
/Toán lũy thừa/	$a^n$	$a^n=a\times a\times a...$	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
/Toán căn/	$\sqrt{}$	$\sqrt{a}=b$ nếu có $b^n=a$	Toán lủy thừa nghịch

Số nguyên

Loai số Số nguyên

Số nguyên là số đại số bao gồm ba loại số số nguyên âm , số nguyên dương và số không . Số không có giá trị bằng 0 . Số nguyên âm có giá trị nhỏ hơn 0 . Số nguyên dương có giá trị lớn hơn 0 . Thí dụ như -1,0,+1 .

Số nguyên có ký hiệu chung $I$ . Số nguyên âm có ký hiệu chung $-I$ . Số nguyên dươngcó ký hiệu chung $+I$ .: Số không $0$ . Thí dụ Số nguyên trong tập hợp số tự nhiên từ 0 đến 9 . Số nguyên âm . $-1,-2,...-9$. Số nguyên dương . $+1,+2,...+9$ . Số nguyên không . $0$

Phép toán Số nguyên

Số nguyên $I=I<0,I=0,I>0$

Toán Số nguyên	Công thức
Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không	$a+0=a$ $a-0=a$ $a\times 0=0$ $a/0=oo$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm	$a+(-a)=0$ $a-(-a)=2a$ $a\times (-a)=-a^2$ $a/(-a)=-1$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương	$a+a=2a$ $a-a=0$ $a\times a=a^2$ $\frac{a}{a}=1$
Lũy thừa số nguyên	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a...\times a$ $(-a{)}^n=a^n$ . $n=2m$$(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Căn số nguyên	$\sqrt{0}=0$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{(-1)}=j$

Phân số

Số Phức là số có dạng tổng quát

$\frac{a}{b}$

Số thập phân

$0,1234$

Số hửu tỉ

$3.1415...$

Số vô tỉ

$0,33333....=\frac{1}{3}$

Số Phức

Số Phức là số có dạng tổng quát

$Z=a\pm jb$

Phép toán số đại số

Phép toán Số nguyên

Số nguyên $I=I<0,I=0,I>0$

Toán Số nguyên	Công thức
Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không	$a+0=a$ $a-0=a$ $a\times 0=0$ $a/0=oo$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm	$a+(-a)=0$ $a-(-a)=2a$ $a\times (-a)=-a^2$ $a/(-a)=-1$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương	$a+a=2a$ $a-a=0$ $a\times a=a^2$ $\frac{a}{a}=1$
Lũy thừa số nguyên	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a...\times a$ $(-a{)}^n=a^n$ . $n=2m$$(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Căn số nguyên	$\sqrt{0}=0$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{(-1)}=j$

Phép toán Phân số

Đổi hổn số thành phân số

$a\frac{b}{c}=a+\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}$

Cộng , Trừ, Nhân, Chia 2 phân số

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

$\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

Lũy thừa phân số

$(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{b^n}{a^n}$

$(\frac{a}{b}{)}^{-1}=\frac{b}{a}=\frac{1}{\frac{b}{a}}$

Căn phân số

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Phép toán Toán số phức

Số phức được biểu diển như ở dưới đây

Số phức	Thuận $Z$	Nghịch $Z^{*}$
Biểu diển dưới dạng xy	$Z=x+jy$	$Z=x-jy$
Biểu diển dưới dạng Zθ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }-ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác	$Z=z(cos\theta +jsin\theta )$	$Z=z(cos\theta -jsin\theta )$
Biểu diển dưới lũy thừa của e	$Z=z{e}^{j\theta }$	$Z=z{e}^{-j\theta }$

Toán số phức được thực thi như sau

Toán Số phức	Toán cộng	Toán trừ	Toán nhân	Toán chia
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$Z=z{e}^{j\theta }$ và $Z=z{e}^{-j\theta }$	$z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$	$z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$	$z^2$	$e^{j2\theta }$

Định lý Demoive

$(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$

Phép toán Lũy thừa

$a^n=a\times a\times a\times a...\times a$

Toán lủy thừa	Công thức
Lủy thừa không	$a^0=1$
Lủy thừa 1	$a^1=a$
Lủy thừa của số không	$0^n$
Lủy thừa của số 1	$1^n=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac{m}{n}}=n\sqrt{a^m}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$. $(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a{)}^n=a^n$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab{)}^m=a^m\times b^m$
Lủy thừa của thương hai số	$(\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{a^n}$
Lủy thừa của căn	$(\sqrt{a^n}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^m+a^n=a^m(1+a^{n-m})$ $a^m-a^n=a^m(1-a^{n-m})$ $a^m\times a^n=a^{m+n}$ $a^m/a^n=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)}}$ $(a+b{)}^n=a^n+C_{n-1}{a}^{n-1}b+...+C_{1}a{b}^{n-1}+b^n$ $(a+b{)}^0=1$ $(a+b{)}^1=a+b$ $(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)=a^2+2ab+b^2$ $(a+b{)}^3=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)}}$ $(a-b{)}^0=1$ $(a-b{)}^1=a+b$ $(a-b{)}^2=(a-b)\times (a-b)=a^2-2ab+b^2$ $(a-b{)}^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^2-b^2=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

Phép toán Toán căn

$n\sqrt{a}=b$ khi có $a=b^n$

Toán căn số	Công thức
Căn và lủy thừa	$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$
Căn của số nguyên	$\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$
Căn lủy thừa	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$
Căn thương số	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Căn tích số	$\sqrt{ab}$ = $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$
Vô căn	$a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$
Ra căn	$\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$

Phép toán Toán log

$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$

Toán Log	Công thức
Viết tắc	$Log=Lo{g}_{10}$ $Ln=Lo{g}_2$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Lo{g}_n(A{)}^n=A$
Lũy thừa log	$B^{Lo{g}_B(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log(\frac{A}{B})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^n)=nLogA$
Đổi nền log	$Lo{g}_{a}x=\frac{Logx}{Loga}$

Dải số đại số

Dải số

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên	$1,2,3,4,5,....,n$
Dải số của các số tự nhiên chẳn	$2,4,6,8,10,...,2n$
Dải số của các số tự nhiên lẻ	$1,3,5,7,...,2n+1$

Tổng dải số đại số

Chuổi sô	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Chuổi số	phép toán tìm tổng của một dải số	$S=\sum$	$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+\cdots +n=1+2+3+...+n=k(1+n)$

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+...+a{r}^{n-1}$

$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+...+a{r}^n$

$S-rS=a-a{r}^n$

$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=\frac{a}{1-r}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^2+1.1^3=4$

$1+1.2+1.2^2+1.2^3=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Tổng dải số Fourier

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}c=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=0}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =e^x$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\ln (1+x)\text{ for }|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos (x)\text{ for all }x\in ℂ$

Biểu thức đại số

Biểu thức	Đơn thức	Đa thức	Đẳng thức	Bất đẳng thức
$2x$, $5xyz$	$2x+5y$, $5xy-2y$	$2x=5y$, $5xy=2y$	$2x$ > $5y$, $5xy$ < $2y$

Hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức	Công thức
Bình phương tổng 2 số đại số	$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
Bình phương hiệu 2 số đại số	$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$
Tổng 2 bình phương	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ $a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab$
Hiệu 2 bình phương	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Tổng 2 lập phương	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Hiệu 2 lập phương	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Hàm số đại số

Tính chất

Hàm số	Công thức
Hàm số có dạng tổng quát	$f(x,y,z,...)$
Giá trị hàm số	$f(x,y,z,...)=C$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn even function	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ odd function	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo inverse function	$f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$	$si{n}^{-1}x=\frac{1}{sinx}$
Hàm số trong hàm số composite function	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số parametric function	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] recursive function

Phép toán hàm số

Đồ thị hàm số

Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số f(x)=x ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0)

x	-2 -1 0 1 2	Hình
F(x)=x	-2 -1 0 1 2

Đồ thị hàm số	Hình
Thẳng
Cong
Tròn
Lũy thừa
Log
Sin
Cos
Sec
Csc
Tan
Cot

Công thức toán

Danh sách các hàm số	Công thức
Hàm số đường thẳng	$Y=ZX$ $y-y_o=Z(x-x_o)$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số vòng tròn Z đơn vị	$Z^2=X^2+Y^2$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	${\frac{Z}{Z}}^2={\frac{X}{Z}}^2+{\frac{Y}{Z}}^2$ $1=co{s}^2+si{n}^2$ $1=se{c}^2+ta{n}^2$ $1=cs{c}^2+co{t}^2$
Hàm số lượng giác	$cos\theta =\frac{X}{Z}$ $sin\theta =\frac{Y}{Z}$ $sec\theta =\frac{1}{X}$ $csc\theta =\frac{1}{Y}$ $tan\theta =\frac{Y}{X}$ $cot\theta =\frac{X}{Y}$
Hàm số lũy thừa Power function	$y=a{x}^n$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function	$y(x)=a{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0{x}^0$
Hàm số chia/]] Rational function	$Q(x)=\frac{N(x)}{M(x)}-R(x)$

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+...=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+...$

Chứng minh

Khi x=0
$f(0)=a_0$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0
$f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$
$f^{\text{'}}(0)=a_1$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$
$a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$
$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$
$a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được
$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Toán giải tích - Phép toán hàm số

Với đường thẳng nghiêng đi qua 2 điểm (xo,yo) - (x,y) dưới đây

Ta có thể tính các loại toán sau

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số cho biết tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x có thể biểu diển bằng công thức toán dưới đây

$a=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y-y_o}{x-x_o}$

$a=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}$

Với

$\mathrm{\Delta }x=x-x_o=(x+\mathrm{\Delta }x)-x$ - Thay đổi biến số x

$\mathrm{\Delta }y=y-y_o=\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ - Thay đổi biến số y

Diện tích dưới hình

$s=\mathrm{\Delta }xy+\mathrm{\Delta }x\frac{\mathrm{\Delta }y}{2}=\mathrm{\Delta }x[y+\frac{\mathrm{\Delta }y}{2}]=\mathrm{\Delta }x[f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2}]$

$s=\mathrm{\Delta }x[f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2}]=\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}[2f(x)+f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)]=\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}[f(x)+f(x+\mathrm{\Delta }x)]$

Với mọi đường cong bên dưới

Ta có thể tính các loại toán sau

Đạo hàm hàm số đường cong

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\text{'}}(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Tích phân xác định đường cong

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định đường cong

$\int f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum (f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2})\mathrm{\Delta }x=F(x)+C$

Phương trình đại số

Dạng tổng quát

Phương trình có dạng tổng quát

$f(x,y,z,...)=0$

Giải phương trình

Quá trình tìm giá trị nghiệm số thỏa mản

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+\frac{b}{a}=0$ $x=-\frac{b}{a}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ :$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$ $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. ${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $a{x}^n+b=0$ $a{x}^n=-b$ v$x^n=-\frac{b}{a}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_o=0$

Giải phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n	$a\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)+bf(x)=0$	$s^{n}f(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s^n=-\frac{b}{a}$ $s=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$ $f(x)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2
Phương trình đạo hàm bậc 2	$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+b\frac{d}{dx}f(x)+cf(x)=0$	$s^{2}f(x)+\frac{b}{a}sf(x)+\frac{c}{a}f(x)=0$ $s^2+2\alpha s+\beta =0$ $s=-\alpha$ . $f(x)=A{e}^{-\alpha x}=A(\alpha )$ . $\alpha$ = $\beta$ $s=-\alpha \pm \lambda$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$ . $\alpha$ < $\beta$ $s=-\alpha \pm j\omega$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$ . $\alpha$ > $\beta$ $\alpha =\frac{b}{2a}$ . $\beta =\frac{c}{a}$ . $\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$ . $\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$
Phương trình đạo hàm bậc 1	$a\frac{d}{dx}f(x)+bf(x)=0$	$sf(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s=-\frac{b}{a}$ $f(x)=A{e}^{sx}=A{e}^{-\frac{b}{a}x}=A{e}^{-\alpha x}$

Giải hệ phương trình tuyến tính

Dạng tổng quát của 2 biến số

$a_{11}x+a_{12}y=a_{1n}$

$a_{21}x+a_{22y}=a_{2n}$

Hình học Eucleur

Điểm

Góc	Định nghỉa	Ký hiệu	Đơn vị	Thí dụ
.	Một chấm	A __ B

Đường thẳng

Góc	Định nghỉa	Ký hiệu	Đơn vị	Thí dụ
	Đường nối liền giửa 2 điểm tạo từ nhiều đoạn thẳng	AB

Góc

Góc	Định nghỉa	Ký hiệu	Đơn vị	Thí dụ
	Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng	$\mathrm{\angle }$	$1rad=\frac{180^o}{\pi }$ $1^o=\frac{\pi }{180^o}$	$\mathrm{\angle }A=30^0=\frac{\pi }{6}rad$

Đường thẳng

Định nghỉa

Tọa độ điểm đại số

Đường thẳng là một đường nối liền giửa 2 điểm (xo,yo) - (x,y)

Có độ dóc tính bằng

$a=\frac{y-y_o}{x-x_o}$

Có thể biểu diển bằng hàm số toán đại số dưới đây

$y=y_o+a(x-x_o)=ax+b$

Dạng đường thẳng

Đường thẳng vuông góc

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông 90^o sẻ tạo ra hai Đường thẳng vuông góc voi nhau

<

$AB\perp CD$
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD

                     $\perp$ 

Góc B đỏ = Góc B xanh = 90^o
Góc B đỏ + Góc B xanh = 90^o + 90^o = 180^o
Góc B đỏ = 180^o - Góc B xanh
Góc B xanh = 180^o - Góc B đỏ

Đường thẳng song song

Hai đường thẳng không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào là đường thẳng song song . Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung . Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song . Ký hiệu đường thẳng song song $//$

AB // CD

Tính chất góc trong 2 đương thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

1. Hai góc so le trong bằng nhau;
2. Hai góc đồng vị bằng nhau;
3. Hai góc trong cùng phía bù nhau.

Vector đường thẳng

Vector đường thẳng là một đường thẳng có hướng và có một độ dài . Vectơ đường thẳng có ký hiệu Vector → . Thí dụ, Vector $\overrightarrow{AB}$

Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây

$\overrightarrow{A}=A\overrightarrow{a}$

Với

$\overrightarrow{A}$ - Vector

$\overrightarrow{A}=A$ . Cường độ vector

$\overrightarrow{A}=\overrightarrow{a}$ . Vector 1 đơn vị

Cường độ vector

$A=\frac{\overrightarrow{A}}{a}$

Vector 1 đơn vị

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{A}}{a}$

Thí dụ

Tam giác vuông Pythagore

Vector đương thẳng	Công tức toán
Vector đương thẳng ngang	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng dọc	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$
Vector đương thẳng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}=X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j}$

Vòng tròn Eucleur

Vector bán kín vòng tròn

$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}=\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}=X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j}$

Phép toán vector

Không gian 2 chiều

Cộng vector

Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là một vectơ được xác định theo quy tắc:

• Quy tắc 3 điểm

di chuyển vectơ $\overrightarrow{CD}$ sao cho điểm đầu C của $\overrightarrow{CD}$ trùng với điểm cuối B của $\overrightarrow{AB}$: $C\equiv B$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng

• Quy tắc hình bình hành

di chuyển vectơ $\overrightarrow{CD}$ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, chiều từ gốc A đến điểm cuối

Tính chất Vectơ	Công thức
Tính chất giao hoán	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
Tính chất kết hợp	$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
Tính chất của vectơ-không	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$
Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có:	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
I là trung điểm đoạn thẳng AB	$\iff \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$
G là trọng tâm $△ABC$	$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Nhân vector

Với hai vectơ bất kì, với hằng số h và k, ta có

• $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$
• $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$
• $h(k\overrightarrow{a})=(hk)\overrightarrow{a}$
• $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$
• $(-1).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

Không gian 3 chiều

Chấm 2 vector

Tích vô hướng của hai vectơ A = [A₁, A₂,..., A_n] và B = [B₁, B₂,..., B_n] được định nghĩa như sau

$𝐀\cdot 𝐁=\sum _{i=1}^n{A}_i{B}_i=A_1{B}_1+A_2{B}_2+\cdots +A_n{B}_n$

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert \cos (\theta ),$ . Trong đó θ là góc giữa A và B.

Trường hợp đặc biệt,

• Nếu A và B trực giao thì góc giữa chúng là 90°, do đó:

$𝐀\cdot 𝐁=0.$

• Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert$

Suy ra tích vô hướng của vectơ A và chính nó là:

$𝐀\cdot 𝐀={\Vert 𝐀\Vert }^2,$

ta có:

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{𝐀\cdot 𝐀},$

là khoảng cách Euclid của vectơ, luôn có giá trị dương khi A khác 0.

Cho vectơ A = [A₁, A₂,..., A_n] ta có

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{\sum _{k=1}^n{A}_k^2}$

Cho a, b, và c là các vectơ và r là đại lượng vô hướng, tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:.

1. Giao hoán:

   $𝐚\cdot 𝐛=𝐛\cdot 𝐚,$

   được suy ra từ định nghĩa (θ góc giữa a và b):

   $𝐚\cdot 𝐛=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \cos \theta =\Vert 𝐛\Vert \Vert 𝐚\Vert \cos \theta =𝐛\cdot 𝐚.$

2. Phân phối cho phép cộng vectơ:

   $𝐚\cdot (𝐛+𝐜)=𝐚\cdot 𝐛+𝐚\cdot 𝐜.$

3. Dạng song tuyến:

   $𝐚\cdot (r𝐛+𝐜)=r(𝐚\cdot 𝐛)+(𝐚\cdot 𝐜).$

4. Phép nhân vô hướng:

   $(c_1𝐚)\cdot (c_2𝐛)=c_1{c}_2(𝐚\cdot 𝐛).$

5. Không có tính kết hợp bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng (a ⋅ b) và vectơ (c) không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: (a ⋅ b) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c) là không hợp lệ.
6. Trực giao:

   Hai vectơ khác vectơ không: a và b trực giao khi và chỉ khi a ⋅ b = 0.

   Hai vectơ trực giao trong không gian Euclid còn được gọi là vuông góc.

7. Không có tính khử:

   Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu

   ab = ac, thì b luôn luôn bằng c nếu a khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử:

   Nếu a ⋅ b = a ⋅ c và a ≠ 0, thì ta có: a ⋅ (b − c) = 0 theo như luật phân phối; suy ra a trực giao với (b − c), tức là (b − c) ≠ 0, và dẫn đến b ≠ c.

8. Quy tắc đạo hàm tích: Nếu a và b là hàm số, thì đạo hàm của a ⋅ b là a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

Tam giác có cạnh vectơ a and b, và góc giữa 2 vectơ là θ.

Hai vectơ a và b có góc giữa hai vectơ là θ (như trong hình bên phải) tạo thành một tam giác có cạnh thứ ba là c = a − b. Tích vô hướng của c và chính nó là Định lý cos:

$\begin{array}{cc}𝐜\cdot 𝐜& =(𝐚-𝐛)\cdot (𝐚-𝐛)\\ & =𝐚\cdot 𝐚-𝐚\cdot 𝐛-𝐛\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛\\ & =a^2-𝐚\cdot 𝐛-𝐚\cdot 𝐛+b^2\\ & =a^2-2𝐚\cdot 𝐛+b^2\\ c^2& =a^2+b^2-2ab\cos \theta \\ \end{array}$

Chéo 2 vector

Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải

Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải.

Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$, định nghĩa bởi:

$𝐚\times 𝐛=\widehat{𝐧}\left|𝐚\right|\left|𝐛\right|\sin \theta$

với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$, khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

$[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]=(\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|)$

Ứng dụng

Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.

• Diện tích hình bình hành ABCD: $S=|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}]|=AB.AD.sin(A)$
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D': $V=|[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}]\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}|$
• 2 vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương $\iff$ $[\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}]=\overrightarrow{0}$
• 3 vector $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\iff$ $[\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}].\overrightarrow{w}=0$

Góc

Định nghỉa

Góc	Định nghỉa	Ký hiệu	Đơn vị	Thí dụ
	Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng	$\mathrm{\angle }$	$1rad=\frac{180^o}{\pi }$ $1^o=\frac{\pi }{180^o}$	$\mathrm{\angle }A=30^0=\frac{\pi }{6}rad$

Thể loại góc

Góc	Hình	Định nghỉa
Góc nhọn		Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông		Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù		Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt		Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản		Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy		Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).

Hình tam giác

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin

• 3 điểm . $A,B,C$
• 3 cạnh . $AB,BC,CA$
• 3 góc . $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$

Chu vi Diện tích Thể tích

	Chu vi	Diện tích	Thể tích
	$a+b+c$	$\frac{ba}{2}$	$ab\frac{h}{2}$

Tam giác thường

Định lý Sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$

Định lý Cosin

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Tam giác vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng $90^o$

c - Cạnh huyền

a - Cạnh đối

b - Cạnh kề

• Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90^o
• $\mathrm{\angle }C=90^o$
• $\overline{AC}\perp \overline{CB}$

Định lý tam giác vuông

• Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông
• Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông
• Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pytago đảo)
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông
• Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông
• Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông.

Định lý Pytago

Định lý Pytago phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình

$a^2+b^2=c^2$

Trong đó, c là chiều dài của cạnh huyền và a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.

Hàm số lượng giác

Tương quan các cạnh và góc

Hàm số góc lượng giác	Tỉ lệ cạnh	Đồ thị
Cosine	$\frac{X}{Z}=\cos \theta$
Sine	$\frac{Y}{Z}=\sin \theta$
Cosine	$\frac{1}{X}=\sec \theta$
Cosecant	$\frac{1}{Y}=\csc \theta$
Tangent	$\frac{Y}{X}=\tan \theta$
Cotangent	$\frac{X}{Y}=\cot \theta$

Tam giác vuông trên đồ thị XY

Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang	$X=\frac{Y}{Z}$	$x-x_o$	$\mathrm{\Delta }x$	$Z\cos \theta$
Độ dài cạnh dọc	$Y=ZX$	$y-y_o$	$\mathrm{\Delta }y$	$Z\sin \theta$
Độ dóc	$Z=\frac{Y}{X}$	$\frac{y-y_o}{x-x_o}$	$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$	$Tan\theta$
Độ nghiêng	$\theta ={\tan }^{-1}Z$	$\theta ={\tan }^{-1}\frac{Y}{X}$

Vector đương thẳng ngang	$\overrightarrow{X}=x\overrightarrow{i}$	$(x-x_o)\overrightarrow{i}$	$Z\cos \theta \overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng dọc	$\overrightarrow{Y}=y\overrightarrow{i}$	$(y-y_o)\overrightarrow{i}$	$Z\sin \theta \overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=z\overrightarrow{k}$	$(z-z_o)\overrightarrow{k}$

Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z	$Y=ZX$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }Ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$
Diện tích dưới hình	$s=X(y_o+\frac{Y}{2})=X(y_o+\frac{ZX}{2})=X(y-\frac{ZX}{2})=\frac{y^2-y_o^2}{2Z}$

Hình cong

Độ nghiêng đường thẳng

$a=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Diện tích dưới hình

$s=\mathrm{\Delta }x[f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2}]$

Khi $\mathrm{\Delta }x->0$

Độ nghiêng đường thẳng

$a(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{d}{dx}f(x)=f^{\text{'}}(x)$

Diện tích dưới hình

$s(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum (f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2})\mathrm{\Delta }x=\int f(x)dx=F(x)+C$

Diện tích dưới hình giửa 2 điểm

$s(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

$s(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

$-s(x)=\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=F(a)-F(b)$

Hàm số lượng giác cơ bản

Định nghỉa

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tỉ lệ các cạnh trong tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Tính chất

Tuần hoàn

$\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$

$\sin (-x)=-\sin (x)$

$\sin (x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

Đối xứng

$\cos (x)=\cos (x+2k\pi )$

$\cos (-x)=\cos (x)$

$\cos (x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$

Tịnh tiến

$\tan (x)=\tan (x+k\pi )$

$\tan (-x)=-\tan (x)$

$\tan (x)=\cot (\frac{\pi }{2}-x)$

$\cot (-x)=-\cot (x)$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

với

$\phi =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a\ge 0;\\ \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a<0.\end{array}$

Góc bội

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

$\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos (nx)=T_n(\cos (x)).$

công thức de Moivre:

$\cos (nx)+i\sin (nx)=(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)$

$=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin (nx)=2\sin ((n-1)x)\cos (x)-\sin ((n-2)x)$

$\cos (nx)=2\cos ((n-1)x)\cos (x)-\cos ((n-2)x)$=

Góc chia đôi

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}$

$=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1-{\cos }^{2}x)}}$

$=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}.$

Nếu

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right),$

thì:

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$

and

$\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

and

$e^{ix}=\frac{1+it}{1-it}.$

Tổng 2 góc

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$

Hiệu 2 góc

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$

Tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

Lũy thừa góc

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x){\cos }^{2}2(x)=\frac{1-\cos (4x)}{4}$

${\sin }^3(x)=\frac{2\sin 2(x)-\sin (3x)}{4}$

${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$

Hàm số lượng đường thẳng

Hàm số lượng đường thẳng nghiêng

$Z=z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$

Hàm số lượng đường thẳng dọc

$Y=y\mathrm{\angle }90$

Hàm số lượng đường thẳng ngang

$X=x\mathrm{\angle }0$

Hàm số lượng đường tròn

Hàm số lượng đường tròn Z đơn vị

$R=\theta$

$Z^2=X^2+Y^2$

Hàm số lượng đường tròn 1 đơn vị

$1=(\frac{X}{Z}{)}^2+(\frac{Y}{Z}{)}^2=co{s}^{2}x+si{n}^{2}x=se{c}^{2}x-ta{n}^{2}x=cs{c}^{2}x-co{t}^{2}x$

Vector

Vector đại diện cho một đường thẳng có hướng và có một độ dài . Vectơ có ký hiệu → . Thí dụ, Vector $\overrightarrow{AB}$

Tính chất

Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây

$\overrightarrow{A}=A\overrightarrow{a}$

Với

$\overrightarrow{A}$ - Vector

$\overrightarrow{A}=A$ . Cường độ vector

$\overrightarrow{A}=\overrightarrow{a}$ . Vector 1 đơn vị

Cường độ vector

$A=\frac{\overrightarrow{A}}{a}$

Vector 1 đơn vị

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{A}}{a}$

Thí dụ

Trong hệ tọa độ XY

Vector chuyển động thẳng hàng ngang	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$
Vector chuyển động thẳng hàng dọc	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$
Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}=X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j}$
Vector chuyển động tròn	$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}=\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}=X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j}$

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	$\frac{d}{dt}s(t)$	$\frac{d^2}{d{t}^2}s(t)$
Vector đương thẳng ngang	→→	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{X}=\frac{dX}{dt}\overrightarrow{i}=v_x\overrightarrow{i}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{X}=\frac{d^{2}X}{d{t}^2}\overrightarrow{i}=a_x\overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng dọc	↑ ↑	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Y}=\frac{dY}{dt}\overrightarrow{j}=v_y\overrightarrow{j}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Y}=\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}\overrightarrow{j}=a_y\overrightarrow{j}$
Vector đương thẳng nghiêng		$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Z}=\frac{dZ}{dt}\overrightarrow{k}=v_z\overrightarrow{k}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Z}=\frac{d^{2}Z}{d{t}^2}\overrightarrow{k}=a_z\overrightarrow{k}$
Vector đương tròn		$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{R}$ $R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d}{dt}R=R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{R}$ $R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d^2}{d{t}^2}R=R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}$
Vector đương tròn		$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{R}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y})$ $\frac{dX}{dt}\overrightarrow{i}+\frac{dY}{dt}\overrightarrow{j}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{R}=\frac{d^2}{d{t}^2}(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y})$ $\frac{d^{2}X}{d{t}^2}\overrightarrow{i}+\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}\overrightarrow{j}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}$

Operator notation

Gradient

For a function $f(x,y,z)$ in three-dimensional Cartesian coordinate variables, the gradient is the vector field:

$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤$

where i, j, k are the standard unit vectors for the x, y, z-axes. More generally, for a function of n variables $\psi (x_1,\dots ,x_n)$, also called a scalar field, the gradient is the vector field: $$\mathrm{\nabla }\psi =\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}\end{array}\right)\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x_1}{𝐞}_1+\dots +\frac{\partial \psi }{\partial x_n}{𝐞}_n$$ where ${𝐞}_i(i=1,2,...,n)$ are mutually orthogonal unit vectors.

As the name implies, the gradient is proportional to, and points in the direction of, the function's most rapid (positive) change.

For a vector field $𝐀=(A_1,\dots ,A_n)$, also called a tensor field of order 1, the gradient or total derivative is the n × n Jacobian matrix: $${𝐉}_{𝐀}=d𝐀=(\mathrm{\nabla }𝐀{)}^{\mathsf{\text{T}}}={\left(\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right)}_{ij}.$$

For a tensor field $𝐓$ of any order k, the gradient $\mathrm{grad}(𝐓)=d𝐓=(\mathrm{\nabla }𝐓{)}^{\mathsf{\text{T}}}$ is a tensor field of order k + 1.

For a tensor field $𝐓$ of order k > 0, the tensor field $\mathrm{\nabla }𝐓$ of order k + 1 is defined by the recursive relation $$(\mathrm{\nabla }𝐓)\cdot 𝐂=\mathrm{\nabla }(𝐓\cdot 𝐂)$$ where $𝐂$ is an arbitrary constant vector.

Divergence

In Cartesian coordinates, the divergence of a continuously differentiable vector field $𝐅=F_x𝐢+F_y𝐣+F_z𝐤$ is the scalar-valued function: $$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{F}_x,F_y,F_z\end{array}\right)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$$

As the name implies, the divergence is a (local) measure of the degree to which vectors in the field diverge.

The divergence of a tensor field $𝐓$ of non-zero order k is written as $\mathrm{div}(𝐓)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓$, a contraction of a tensor field of order k − 1. Specifically, the divergence of a vector is a scalar. The divergence of a higher-order tensor field may be found by decomposing the tensor field into a sum of outer products and using the identity, $$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\otimes 𝐓)=𝐓(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐓$$ where $𝐀\cdot \mathrm{\nabla }$ is the directional derivative in the direction of $𝐀$ multiplied by its magnitude. Specifically, for the outer product of two vectors, $$\mathrm{\nabla }\cdot \left(𝐀{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}\right)=𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁.$$

For a tensor field $𝐓$ of order k > 1, the tensor field $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓$ of order k − 1 is defined by the recursive relation $$(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓)\cdot 𝐂=\mathrm{\nabla }\cdot (𝐓\cdot 𝐂)$$ where $𝐂$ is an arbitrary constant vector.

Curl

In Cartesian coordinates, for $𝐅=F_x𝐢+F_y𝐣+F_z𝐤$ the curl is the vector field: $$\begin{array}{cc}\mathrm{curl}𝐅& =\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{F}_x,F_y,F_z\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|\\ & =(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})𝐤\end{array}$$ where i, j, and k are the unit vectors for the x-, y-, and z-axes, respectively.

As the name implies the curl is a measure of how much nearby vectors tend in a circular direction.

In Einstein notation, the vector field $𝐅=\left(\begin{array}{c}{F}_1,F_2,F_3\end{array}\right)$ has curl given by: $$\mathrm{\nabla }\times 𝐅={\epsilon }^{ijk}{𝐞}_i\frac{\partial F_k}{\partial x_j}$$ where $\epsilon$ = ±1 or 0 is the Levi-Civita parity symbol.

For a tensor field $𝐓$ of order k > 1, the tensor field $\mathrm{\nabla }\times 𝐓$ of order k is defined by the recursive relation $$(\mathrm{\nabla }\times 𝐓)\cdot 𝐂=\mathrm{\nabla }\times (𝐓\cdot 𝐂)$$ where $𝐂$ is an arbitrary constant vector.

A tensor field of order greater than one may be decomposed into a sum of outer products, and then the following identity may be used: $$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\otimes 𝐓)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\otimes 𝐓-𝐀\times (\mathrm{\nabla }𝐓).$$ Specifically, for the outer product of two vectors, $$\mathrm{\nabla }\times \left(𝐀{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}\right)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀){𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}-𝐀\times (\mathrm{\nabla }𝐁).$$

Laplacian

In Cartesian coordinates, the Laplacian of a function $f(x,y,z)$ is $$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$$

The Laplacian is a measure of how much a function is changing over a small sphere centered at the point.

When the Laplacian is equal to 0, the function is called a harmonic function. That is, $$\mathrm{\Delta }f=0.$$

For a tensor field, $𝐓$, the Laplacian is generally written as: $$\mathrm{\Delta }𝐓={\mathrm{\nabla }}^2𝐓=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })𝐓$$ and is a tensor field of the same order.

For a tensor field $𝐓$ of order k > 0, the tensor field ${\mathrm{\nabla }}^2𝐓$ of order k is defined by the recursive relation $$\left({\mathrm{\nabla }}^2𝐓\right)\cdot 𝐂={\mathrm{\nabla }}^2(𝐓\cdot 𝐂)$$ where $𝐂$ is an arbitrary constant vector.

Special notations

In Feynman subscript notation, $${\mathrm{\nabla }}_{𝐁}\left(𝐀\mathbf{\cdot }𝐁\right)=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$$ where the notation ∇_B means the subscripted gradient operates on only the factor B.

Less general but similar is the Hestenes overdot notation in geometric algebra. The above identity is then expressed as: $$\dot{\mathrm{\nabla }}(𝐀\cdot \dot{𝐁})=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$$ where overdots define the scope of the vector derivative. The dotted vector, in this case B, is differentiated, while the (undotted) A is held constant.

For the remainder of this article, Feynman subscript notation will be used where appropriate.

First derivative identities

For scalar fields $\psi$, $\varphi$ and vector fields $𝐀$, $𝐁$, we have the following derivative identities.

Distributive properties

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(\psi +\varphi )& =\mathrm{\nabla }\psi +\mathrm{\nabla }\varphi \\ \mathrm{\nabla }(𝐀+𝐁)& =\mathrm{\nabla }𝐀+\mathrm{\nabla }𝐁\\ \mathrm{\nabla }\cdot (𝐀+𝐁)& =\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁\\ \mathrm{\nabla }\times (𝐀+𝐁)& =\mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\times 𝐁\end{array}$

First derivative associative properties

$\begin{array}{cc}(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })\psi & =𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )\\ (𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁& =𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }𝐁)\\ (𝐀\times \mathrm{\nabla })\psi & =𝐀\times (\mathrm{\nabla }\psi )\\ (𝐀\times \mathrm{\nabla })𝐁& =𝐀\times (\mathrm{\nabla }𝐁)\end{array}$

Product rule for multiplication by a scalar

We have the following generalizations of the product rule in single-variable calculus.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(\psi \varphi )& =\varphi \mathrm{\nabla }\psi +\psi \mathrm{\nabla }\varphi \\ \mathrm{\nabla }(\psi 𝐀)& =(\mathrm{\nabla }\psi ){𝐀}^{\mathsf{\text{T}}}+\psi \mathrm{\nabla }𝐀=\mathrm{\nabla }\psi \otimes 𝐀+\psi \mathrm{\nabla }𝐀\\ \mathrm{\nabla }\cdot (\psi 𝐀)& =\psi \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+(\mathrm{\nabla }\psi )\cdot 𝐀\\ \mathrm{\nabla }\times (\psi 𝐀)& =\psi \mathrm{\nabla }\times 𝐀+(\mathrm{\nabla }\psi )\times 𝐀\\ {\mathrm{\nabla }}^2(\psi \varphi )& =\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi +2\mathrm{\nabla }\psi \cdot \mathrm{\nabla }\varphi +\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi \end{array}$

Quotient rule for division by a scalar

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\left(\frac{\psi }{\varphi }\right)& =\frac{\varphi \mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }\varphi }{{\varphi }^2}\\ \mathrm{\nabla }\left(\frac{𝐀}{\varphi }\right)& =\frac{\varphi \mathrm{\nabla }𝐀-\mathrm{\nabla }\varphi \otimes 𝐀}{{\varphi }^2}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{𝐀}{\varphi }\right)& =\frac{\varphi \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀-\mathrm{\nabla }\varphi \cdot 𝐀}{{\varphi }^2}\\ \mathrm{\nabla }\times \left(\frac{𝐀}{\varphi }\right)& =\frac{\varphi \mathrm{\nabla }\times 𝐀-\mathrm{\nabla }\varphi \times 𝐀}{{\varphi }^2}\\ {\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{\psi }{\varphi }\right)& =\frac{\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi -2\varphi \mathrm{\nabla }\left(\frac{\psi }{\varphi }\right)\cdot \mathrm{\nabla }\varphi -\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi }{{\varphi }^2}\end{array}$

Chain rule

Let $f(x)$ be a one-variable function from scalars to scalars, $𝐫(t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$ a parametrized curve, $\varphi :{ℝ}^n\to ℝ$ a function from vectors to scalars, and $𝐀:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ a vector field. We have the following special cases of the multi-variable chain rule.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(f\circ \varphi )& =(f^{\prime }\circ \varphi )\mathrm{\nabla }\varphi \\ (𝐫\circ f{)}^{\prime }& =({𝐫}^{\prime }\circ f)f^{\prime }\\ (\varphi \circ 𝐫{)}^{\prime }& =(\mathrm{\nabla }\varphi \circ 𝐫)\cdot {𝐫}^{\prime }\\ (𝐀\circ 𝐫{)}^{\prime }& ={𝐫}^{\prime }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐀\circ 𝐫)\\ \mathrm{\nabla }(\varphi \circ 𝐀)& =(\mathrm{\nabla }𝐀)\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi \circ 𝐀)\\ \mathrm{\nabla }\cdot (𝐫\circ \varphi )& =\mathrm{\nabla }\varphi \cdot ({𝐫}^{\prime }\circ \varphi )\\ \mathrm{\nabla }\times (𝐫\circ \varphi )& =\mathrm{\nabla }\varphi \times ({𝐫}^{\prime }\circ \varphi )\end{array}$

For a vector transformation $𝐱:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ we have:

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\circ 𝐱)=\mathrm{t}\mathrm{r}((\mathrm{\nabla }𝐱)\cdot (\mathrm{\nabla }𝐀\circ 𝐱))$

Here we take the trace of the dot product of two second-order tensors, which corresponds to the product of their matrices.

Dot product rule

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)& =(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\\ & =𝐀\cdot {𝐉}_{𝐁}+𝐁\cdot {𝐉}_{𝐀}=(\mathrm{\nabla }𝐁)\cdot 𝐀+(\mathrm{\nabla }𝐀)\cdot 𝐁\end{array}$

where ${𝐉}_{𝐀}=(\mathrm{\nabla }𝐀{)}^{\mathsf{\text{T}}}=(\partial A_i/\partial x_j{)}_{ij}$ denotes the Jacobian matrix of the vector field $𝐀=(A_1,\dots ,A_n)$.

Alternatively, using Feynman subscript notation,

$\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)={\mathrm{\nabla }}_{𝐀}(𝐀\cdot 𝐁)+{\mathrm{\nabla }}_{𝐁}(𝐀\cdot 𝐁).$

See these notes.

As a special case, when Bản mẫu:Math,

$\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐀)=𝐀\cdot {𝐉}_{𝐀}=(\mathrm{\nabla }𝐀)\cdot 𝐀=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=A\mathrm{\nabla }A.$

The generalization of the dot product formula to Riemannian manifolds is a defining property of a Riemannian connection, which differentiates a vector field to give a vector-valued 1-form.

Cross product rule

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)& =(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot 𝐁-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\\ \mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)& =𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁\\ & =𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁)\\ & =\mathrm{\nabla }\cdot \left(𝐁{𝐀}^{\mathsf{\text{T}}}\right)-\mathrm{\nabla }\cdot \left(𝐀{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}\right)\\ & =\mathrm{\nabla }\cdot (𝐁{𝐀}^{\mathsf{\text{T}}}-𝐀{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}})\\ 𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)& ={\mathrm{\nabla }}_{𝐁}(𝐀\cdot 𝐁)-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁\\ & =𝐀\cdot {𝐉}_{𝐁}-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁\\ & =(\mathrm{\nabla }𝐁)\cdot 𝐀-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }𝐁)\\ & =𝐀\cdot ({𝐉}_{𝐁}-{𝐉}_{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}})\\ (𝐀\times \mathrm{\nabla })\times 𝐁& =(\mathrm{\nabla }𝐁)\cdot 𝐀-𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)\\ & =𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }𝐁)-𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)\\ (𝐀\times \mathrm{\nabla })\cdot 𝐁& =𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\end{array}$

Note that the matrix ${𝐉}_{𝐁}-{𝐉}_{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}$ is antisymmetric.

Second derivative identities

Divergence of curl is zero

The divergence of the curl of any continuously twice-differentiable vector field A is always zero: $$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$$

This is a special case of the vanishing of the square of the exterior derivative in the De Rham chain complex.

Divergence of gradient is Laplacian

The Laplacian of a scalar field is the divergence of its gradient: $$\mathrm{\Delta }\psi ={\mathrm{\nabla }}^2\psi =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )$$ The result is a scalar quantity.

Divergence of divergence is not defined

The divergence of a vector field A is a scalar, and the divergence of a scalar quantity is undefined. Therefore, $$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)\text{ is undefined.}$$

Curl of gradient is zero

The curl of the gradient of any continuously twice-differentiable scalar field $\phi$ (i.e., differentiability class $C^2$) is always the zero vector: $$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\phi )=\mathrm{𝟎}.$$

It can be easily proved by expressing $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\phi )$ in a Cartesian coordinate system with Schwarz's theorem (also called Clairaut's theorem on equality of mixed partials). This result is a special case of the vanishing of the square of the exterior derivative in the De Rham chain complex.

Curl of curl

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$$

Here ∇² is the vector Laplacian operating on the vector field A.

Curl of divergence is not defined

The divergence of a vector field A is a scalar, and the curl of a scalar quantity is undefined. Therefore, $$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)\text{ is undefined.}$$

Second derivative associative properties

$\begin{array}{cc}(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })\psi & =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )={\mathrm{\nabla }}^2\psi \\ (\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })𝐀& =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐀)={\mathrm{\nabla }}^2𝐀\\ (\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla })\psi & =\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\psi )=\mathrm{𝟎}\\ (\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla })𝐀& =\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }𝐀)=\mathrm{𝟎}\end{array}$

DCG chart: Some rules for second derivatives.

A mnemonic

The figure to the right is a mnemonic for some of these identities. The abbreviations used are:

• D: divergence,
• C: curl,
• G: gradient,
• L: Laplacian,
• CC: curl of curl.

Each arrow is labeled with the result of an identity, specifically, the result of applying the operator at the arrow's tail to the operator at its head. The blue circle in the middle means curl of curl exists, whereas the other two red circles (dashed) mean that DD and GG do not exist.

Summary of important identities

Differentiation

Gradient

• $\mathrm{\nabla }(\psi +\varphi )=\mathrm{\nabla }\psi +\mathrm{\nabla }\varphi$
• $\mathrm{\nabla }(\psi \varphi )=\varphi \mathrm{\nabla }\psi +\psi \mathrm{\nabla }\varphi$
• $\mathrm{\nabla }(\psi 𝐀)=\mathrm{\nabla }\psi \otimes 𝐀+\psi \mathrm{\nabla }𝐀$
• $\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

Divergence

• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁$
• $\mathrm{\nabla }\cdot \left(\psi 𝐀\right)=\psi \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+𝐀\cdot \mathrm{\nabla }\psi$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot 𝐁-(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\cdot 𝐀$

Curl

• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀+𝐁)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀+\mathrm{\nabla }\times 𝐁$
• $\mathrm{\nabla }\times \left(\psi 𝐀\right)=\psi (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)-(𝐀\times \mathrm{\nabla })\psi =\psi (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(\mathrm{\nabla }\psi )\times 𝐀$
• $\mathrm{\nabla }\times \left(\psi \mathrm{\nabla }\varphi \right)=\mathrm{\nabla }\psi \times \mathrm{\nabla }\varphi$
• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$

Vector-dot-Del Operator

• $(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁=\frac{1}{2}[\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)-\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)-𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)-𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)]$

• $(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }|𝐀{|}^2-𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }|𝐀{|}^2+(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\times 𝐀$

Second derivatives

• $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\psi )=\mathrm{𝟎}$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )={\mathrm{\nabla }}^2\psi$ (scalar Laplacian)
• $\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)={\mathrm{\nabla }}^2𝐀$ (vector Laplacian)
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\varphi \mathrm{\nabla }\psi )=\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi +\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \mathrm{\nabla }\psi$
• $\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi =\mathrm{\nabla }\cdot (\psi \mathrm{\nabla }\varphi -\varphi \mathrm{\nabla }\psi )$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\varphi \psi )=\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi +2(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )+\left({\mathrm{\nabla }}^2\varphi \right)\psi$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\psi 𝐀)=𝐀{\mathrm{\nabla }}^2\psi +2(\mathrm{\nabla }\psi \cdot \mathrm{\nabla })𝐀+\psi {\mathrm{\nabla }}^2𝐀$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(𝐀\cdot 𝐁)=𝐀\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐁-𝐁\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐀+2\mathrm{\nabla }\cdot ((𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀))$ (Green's vector identity)

Third derivatives

• ${\mathrm{\nabla }}^2(\mathrm{\nabla }\psi )=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi ))=\mathrm{\nabla }\left({\mathrm{\nabla }}^2\psi \right)$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀))=\mathrm{\nabla }\cdot \left({\mathrm{\nabla }}^2𝐀\right)$
• ${\mathrm{\nabla }}^2(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀))=\mathrm{\nabla }\times \left({\mathrm{\nabla }}^2𝐀\right)$

Integration

Below, the curly symbol ∂ means "boundary of" a surface or solid.

Surface–volume integrals

In the following surface–volume integral theorems, V denotes a three-dimensional volume with a corresponding two-dimensional boundary S = ∂V (a closed surface):

• Bản mẫu:Oiint
• Bản mẫu:Oiint (divergence theorem)
• Bản mẫu:Oiint
• Bản mẫu:Oiint (Green's first identity)
• Bản mẫu:Oiint (Green's second identity)
• Bản mẫu:Oiint (integration by parts)
• Bản mẫu:Oiint (integration by parts)
• Bản mẫu:Oiint (integration by parts)

Curve–surface integrals

In the following curve–surface integral theorems, S denotes a 2d open surface with a corresponding 1d boundary C = ∂S (a closed curve):

• ${\oint }_{\partial S}𝐀\cdot d\mathit{\ell }=\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot d𝐒$ (Stokes' theorem)
• ${\oint }_{\partial S}\psi d\mathit{\ell }=-\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\psi \times d𝐒$
• ${\oint }_{\partial S}𝐀\times d\mathit{\ell }=-\underset{S}{\iint }(\mathrm{\nabla }𝐀-(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)\mathrm{𝟏})\cdot d𝐒=-\underset{S}{\iint }(d𝐒\times \mathrm{\nabla })\times 𝐀$

Integration around a closed curve in the clockwise sense is the negative of the same line integral in the counterclockwise sense (analogous to interchanging the limits in a definite integral): Bản mẫu:Block indent

Endpoint-curve integrals

In the following endpoint–curve integral theorems, P denotes a 1d open path with signed 0d boundary points $𝐪-𝐩=\partial P$ and integration along P is from $𝐩$ to $𝐪$:

• $\psi {|}_{\partial P}=\psi (𝐪)-\psi (𝐩)=\underset{P}{\int }\mathrm{\nabla }\psi \cdot d\mathit{\ell }$ (gradient theorem)
• $𝐀{|}_{\partial P}=𝐀(𝐪)-𝐀(𝐩)=\underset{P}{\int }(d\mathit{\ell }\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$

Ma trận

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật– các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột – mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 9& -13\\ 20& 5& -6\end{array}\right].$

Kích thước hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Tên gọi	Độ lớn	Ví dụ	Miêu tả
Vectơ hàng	1 × n	$\left[\begin{array}{ccc}3& 7& 2\end{array}\right]$	Ma trận có một hàng, được dùng để biểu diễn một vectơ
Vectơ cột	n × 1	$\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right]$	Ma trận có một cột, được dùng để biểu diễn một vectơ
Ma trận vuông	n × n	$\left[\begin{array}{ccc}9& 13& 5\\ 1& 11& 7\\ 2& 6& 3\end{array}\right]$	Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn phép biến đổi tuyến tính từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt.

Ký hiệu

Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất của ma trận A.

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông:

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right].$

Một cách ký hiệu khác là sử dụng dấu ngoặc đơn lớn thay cho dấu ngoặc vuông:

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(a_{ij}\right)\in {ℝ}^{m\times n}.$

Phép toán ma trận

Những tính chất tương tự đối với số thực có thể mở rộng ra đối với phép toán ma trận. Cộng hai ma trận có tính chất giao hoán, hay tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính:

A + B = B + A.

(A + B) + C = A + (B + C)

Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận.

(cA)^T = c(A^T)

(A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)^T = A

(AB)^T=B^TA^T

Phép toán	Định nghĩa	Ví dụ
Cộng hai ma trận	Tổng A+B của hai ma trận cùng kích thước m-x-n A và B được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận: (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ n.	$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 3+0& 1+5\\ 1+7& 0+5& 0+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 8& 5& 0\end{array}\right]$
Nhân (vô hướng) một số với ma trận	Tích cA của số c (cũng được gọi là vô hướng trong đại số trừu tượng) với ma trận A được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của A với c: Bản mẫu:Nowrap begin(cA)i,j = c • Ai,j.Bản mẫu:Nowrap end Phép toán này được gọi là nhân vô hướng, nhưng không nên nhầm lẫn với khái niệm "tích vô hướng" hay "tích trong".	$2\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\cdot 1& 2\cdot 8& 2\cdot -3\\ 2\cdot 4& 2\cdot -2& 2\cdot 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$
Chuyển vị	Chuyển vị của ma trận m-x-n A là ma trận n-x-m AT (cũng còn ký hiệu là Atr hay tA) tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng: Bản mẫu:Nowrap begin(AT)i,j = Aj,i.Bản mẫu:Nowrap end	${\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -6& 7\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -6\\ 3& 7\end{array}\right]$

Xắp sếp

Sếp đặt một số lượng vật vào vị trí nhứt định . Thí dụ như xắp sếp các ký tự từ a-z để tạo ra các chữ có 2 tự, 3 tự cho đến n tự . Xắp sếp các con số từ 0-9 để tạo ra các số có 1 con số , các số có 2 con số, các số có n con số

Thí dụ

Dùng các con số 0-9 để tạo ra

• Số có 1 con số , có 10 xắp sếp
• Số có 2 con số , có 10 x 9 = 90 xắp sếp
• Số có 3 con số , có 10 x 9 x 8 = 720 xắp sếp

Vậy,

$P(10,1)=\frac{10!}{(10-1)!}=\frac{10987654321}{987654321}=10$

Từ đó, ta có

$P(m,n)=\frac{m!}{(m-n)!}$

$P(m,m)=m!$

$P(m,n_1,n_2,n_n)=\frac{m!}{n_1!n_2!n_n!}$