Xem mã nguồn của Sách toán/Xác xuất

[[Tập tin:Dice_Distribution_(bar).svg|nhỏ|250x250px|Xác suất của việc tung một số con số bằng cách sử dụng hai con xúc xắc.]]
'''Xác suất''' là một nhánh của [[toán học]] liên quan đến các mô tả bằng số về khả năng xảy ra một [[Biến cố (lý thuyết xác suất)|sự kiện]], hoặc khả năng một mệnh đề là đúng. Xác suất của một sự kiện là một số trong khoảng từ 0 đến 1, trong đó, nói một cách đại khái, 0 biểu thị sự bất khả thi của sự kiện và 1 biểu thị sự chắc chắn. {{NoteTag|Strictly speaking, a probability of 0 indicates that an event [[almost surely|''almost'' never]] takes place, whereas a probability of 1 indicates than an event [[almost surely|''almost'' certainly]] takes place. This is an important distinction when the [[sample space]] is infinite. For example, for the [[continuous uniform distribution]] on the [[real number|real]] interval [5, 10], there are an infinite number of possible outcomes, and the probability of any given outcome being observed — for instance, exactly 7 — is 0. This means that when we make an observation, it will ''almost surely not'' be exactly 7. However, it does '''not''' mean that exactly 7 is ''impossible''. Ultimately some specific outcome (with probability 0) will be observed, and one possibility for that specific outcome is exactly 7.}} <ref name="Stuart and Ord 2009">"Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 1: Distribution Theory", Alan Stuart and Keith Ord, 6th Ed, (2009), {{ISBN|978-0-534-24312-8}}.</ref><ref name="Feller">William Feller, ''An Introduction to Probability Theory and Its Applications'', (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley, {{ISBN|0-471-25708-7}}.</ref> Xác suất của sự kiện càng cao thì khả năng xảy ra sự kiện càng cao. Một ví dụ đơn giản là tung đồng xu công bằng (không thiên vị). Vì đồng xu là công bằng, nên cả hai kết quả ("sấp" và "ngửa") đều có thể xảy ra như nhau; xác suất của "sấp" bằng xác suất của "ngửa"; và vì không có kết quả nào khác có thể xảy ra, xác suất xảy ra "sấp" hoặc "ngửa" là <math>\frac{1}{2}</math> (cũng có thể được viết là 0,5 hoặc 50%).

Những khái niệm này đã được chuẩn hóa toán học bằng [[Tiên đề xác suất|tiên đề]] trong [[lý thuyết xác suất]], được sử dụng rộng rãi trong [[môn học|các lĩnh vực nghiên cứu]] như [[toán học]], [[thống kê]], [[tài chính]], [[Đánh bạc|cờ bạc]], [[khoa học]] (đặc biệt là [[Vật lý học|vật lý]]), [[trí tuệ nhân tạo]], [[học máy]], [[khoa học máy tính]], [[lý thuyết trò chơi]], và [[triết học]], ví dụ, rút ra suy luận về tần suất dự kiến của các sự kiện. Lý thuyết xác suất cũng được sử dụng để mô tả cơ học và quy luật cơ bản của [[Hệ thống phức tạp|các hệ thống phức tạp]].<ref>[http://www.britannica.com/EBchecked/topic/477530/probability-theory Probability Theory] The Britannica website</ref>

== Diễn giải ==
Khi xử lý các [[Thí nghiệm|thử nghiệm]] [[ngẫu nhiên]] và [[Được xác định rõ|được xác định rõ ràng]] trong bối cảnh lý thuyết thuần túy (như tung đồng xu công bằng), xác suất có thể được mô tả bằng số bằng số lượng kết quả mong muốn, chia cho tổng số tất cả các kết quả. Ví dụ: tung một đồng xu công bằng hai lần sẽ mang lại kết quả "sấp-sấp", "sấp-ngửa", "ngửa-sấp" và "ngửa-ngửa". Xác suất nhận được kết quả của "sấp-sấp" là 1 trong 4 kết quả, hoặc, về mặt số học, 1/4, 0,25 hoặc 25%. Tuy nhiên, khi nói đến ứng dụng thực tế, có hai loại diễn giải xác suất cạnh tranh chính, mà những người dùng nó có quan điểm khác nhau về bản chất cơ bản của xác suất:

# [[Tính khách quan (triết học)|Những người theo chủ nghĩa khách quan]] ấn định các con số để mô tả một số trạng thái khách quan hoặc thực tế của sự việc. Phiên bản phổ biến nhất của xác suất khách quan là xác suất [[Xác suất thường xuyên|thường xuyên]], cho rằng xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên biểu thị ''tần suất xuất hiện tương đối'' của kết quả của một thử nghiệm, khi thử nghiệm được lặp lại vô thời hạn. Cách hiểu này coi xác suất là tần suất tương đối "về lâu dài" của các kết quả.<ref>{{Chú thích sách|title=The Logic of Statistical Inference|url=https://archive.org/details/logicofstatistic0000ianh|last=Hacking|first=Ian|publisher=Cambridge University Press|year=1965|isbn=978-0-521-05165-1|author-link=Ian Hacking}}{{Số trang}}</ref> Một sửa đổi của điều này là [[xác suất xu hướng]], diễn giải xác suất là xu hướng của một số thử nghiệm để mang lại một kết quả nhất định, ngay cả khi nó chỉ được thực hiện một lần.
# [[Xác suất chủ quan|Những người theo chủ nghĩa chủ quan]] ấn định các con số cho mỗi xác suất chủ quan, nghĩa là, như một mức độ của niềm tin.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Finetti|first=Bruno de|year=1970|title=Logical foundations and measurement of subjective probability|journal=Acta Psychologica|volume=34|issue=|pages=129–145|doi=10.1016/0001-6918(70)90012-0}}</ref> Mức độ tin tưởng được hiểu là "mức giá mà bạn sẽ mua hoặc bán một vụ đặt cược trả 1 đơn vị tiện ích nếu E, 0 nếu không E."<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Hájek|first=Alan|date = ngày 21 tháng 10 năm 2002 |title=Interpretations of Probability|url=http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/probability-interpret/|journal=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|edition=Winter 2012|access-date=ngày 22 tháng 4 năm 2013}}</ref> Phiên bản phổ biến nhất của xác suất chủ quan là [[xác suất Bayes]], bao gồm kiến thức chuyên môn cũng như dữ liệu thực nghiệm để tạo ra xác suất. Kiến thức chuyên môn được đại diện bởi một số [[phân phối xác suất trước]] (chủ quan). Những dữ liệu này được kết hợp trong một [[hàm xác suất]]. Tích của khả năng xảy ra trước và khả năng xảy ra, khi được chuẩn hóa, dẫn đến một [[Xác suất hậu nghiệm|phân phối xác suất hậu nghiệm]] kết hợp tất cả các thông tin đã biết cho đến nay.<ref>{{Chú thích sách|title=Introduction to Mathematical Statistics|last=Hogg|first=Robert V.|last2=Craig|first2=Allen|last3=McKean|first3=Joseph W.|publisher=Pearson|year=2004|isbn=978-0-13-008507-8|edition=6th|location=Upper Saddle River}}{{Số trang}}</ref> Theo [[định lý thỏa thuận của Aumann]], các tác nhân Bayes có niềm tin trước đó giống nhau sẽ kết thúc với niềm tin hậu duệ tương tự. Tuy nhiên, đủ các yếu tố khác nhau có thể dẫn đến các kết luận khác nhau, bất kể lượng thông tin mà các đại lý chia sẻ.<ref>{{Chú thích sách|title=Probability Theory: The Logic of Science|last=Jaynes|first=E.T.|date=2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-59271-0|editor-last=Bretthorst|editor-first=G. Larry|edition=1|language=en|chapter=Section 5.3 Converging and diverging views}}</ref>

== Từ nguyên ==
Từ '''xác suất''' (''probability'') bắt nguồn từ chữ ''probabilitas'' trong [[latinh|tiếng Latin]] và có nghĩa là "để chứng minh, để kiểm chứng". Nói một cách đơn giản, ''probable'' là một trong nhiều từ dùng để chỉ những sự kiện hoặc kiến thức chưa chắc chắn, và thường đi kèm với các từ như "có vẻ là", "mạo hiểm", "may rủi", "không chắc chắn" hay "nghi ngờ", tùy vào ngữ cảnh. Theo một nghĩa nào đó, điều này khác nhiều so với ý nghĩa hiện đại của ''xác suất'', ngược lại, là thước đo trọng lượng của [[bằng chứng thực nghiệm]], và được hình thành từ [[suy luận quy nạp]] và [[suy luận thống kê]].<ref name="Emergence3">[[Ian Hacking|Hacking, I.]] (2006) ''The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference'', Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-68557-3}} {{Số trang}}</ref>

"Cơ hội" (''chance''), "cá cược" (''odds'', ''bet'') là những từ cho khái niệm tương tự. Nếu [[cơ học cổ điển|lý thuyết cơ học]] có định nghĩa chính xác cho "công" và "lực", thì [[lý thuyết xác suất]] nhằm mục đích định nghĩa "khả năng".

== Lịch sử ==
{{chính|Lịch sử xác suất}}
Nghiên cứu khoa học về xác suất là một bước phát triển hiện đại của [[toán học]] [[Đánh bạc|Cờ bạc]] cho thấy rằng đã có sự quan tâm đến việc định lượng các ý tưởng về xác suất trong nhiều thiên niên kỷ, nhưng các mô tả toán học chính xác đã xuất hiện muộn hơn nhiều. Có những lý do giải thích cho sự phát triển chậm chạp của toán học xác suất. Trong khi các trò chơi may rủi tạo động lực cho việc nghiên cứu toán học về xác suất, {{Cần giải thích|date=July 2014}}  vẫn bị che lấp bởi những mê tín của những người chơi cờ bạc.<ref>[[John E. Freund|Freund, John.]] (1973) ''Introduction to Probability''. Dickenson {{ISBN|978-0-8221-0078-2}} (p. 1)</ref>

Theo [[Richard Jeffrey]], "Trước giữa thế kỷ XVII, thuật ngữ 'có thể xảy ra' (tiếng Latinh ''xác suất'') có nghĩa là có thể ''chấp thuận được'', và được áp dụng theo nghĩa đó, cho ý kiến và hành động. Một hành động hoặc ý kiến có thể xảy ra là một hành động chẳng hạn như những người hợp lý sẽ thực hiện hoặc nắm giữ, trong hoàn cảnh. " <ref name="Jeffrey">Jeffrey, R.C., ''Probability and the Art of Judgment,'' Cambridge University Press. (1992). pp. 54–55. {{ISBN|0-521-39459-7}}</ref> Tuy nhiên, đặc biệt là trong các bối cảnh pháp lý, 'có thể xảy ra' cũng có thể áp dụng cho các mệnh đề có bằng chứng xác đáng.<ref name="Franklin">Franklin, J. (2001) ''The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal,'' Johns Hopkins University Press. (pp. 22, 113, 127)</ref>
[[Tập tin:Al-kindi_cryptographic.png|nhỏ|172x172px|''Cuốn sách Thông điệp mật mã của'' [[Al-Kindi]] chứa cách sử dụng [[suy luận thống kê]] sớm nhất được biết đến (thế kỷ thứ 9)]]
Các dạng xác suất và [[thống kê]] sớm nhất được biết đến đã được phát triển bởi [[Toán học Hồi giáo Trung Cổ|các nhà toán học Trung Đông]] nghiên cứu [[Mật mã học|mật mã]] từ thế kỷ 8 đến thế kỷ 13. [[Al-Khalil ibn Ahmad al-Farahidi|Al-Khalil]] (717–786) đã viết ''cuốn sách Thông điệp mật mã'' trong đó có lần đầu tiên sử dụng các [[Hoán vị và kết hợp|hoán vị và tổ hợp]] để liệt kê tất cả các từ [[tiếng Ả Rập]] có thể có và không có nguyên âm. [[Al-Kindi]] (801–873) đã sử dụng [[suy luận thống kê]] sớm nhất được biết đến trong công việc của mình về [[phân tích mật mã]] và [[Phân tích tần suất|phân tích tần số]]. Một đóng góp quan trọng của [[Ibn Adlan]] (1187–1268) là về [[Cỡ mẫu|kích thước mẫu]] để sử dụng phân tích tần số.<ref name="LB">{{Chú thích tạp chí|last=Broemeling|first=Lyle D.|date=ngày 1 tháng 11 năm 2011|title=An Account of Early Statistical Inference in Arab Cryptology|journal=The American Statistician|volume=65|issue=4|pages=255–257|doi=10.1198/tas.2011.10191}}</ref>
[[Tập tin:Cardano.jpg|nhỏ|203x203px|[[Gerolamo Cardano]] (thế kỷ 16)]]
[[Tập tin:Christiaan_Huygens-painting.jpeg|nhỏ|219x219px|[[Christiaan Huygens|Christiaan Huygens đã]] xuất bản một trong những cuốn sách đầu tiên về xác suất (thế kỷ 17)]]
Nhà nghiên cứu đa ngành [[Người Ý|người Ý ở]] thế kỷ XVI [[Gerolamo Cardano]] đã chứng minh hiệu quả của việc xác định [[tỷ lệ cược]] là tỷ lệ giữa các kết quả thuận lợi và không thuận lợi (ngụ ý rằng xác suất của một sự kiện được cho bằng tỷ lệ các kết quả thuận lợi trên tổng số các kết quả có thể xảy ra <ref>[http://www.columbia.edu/~pg2113/index_files/Gorroochurn-Some%20Laws.pdf ''Some laws and problems in classical probability and how Cardano anticipated them'' Gorrochum, P. ''Chance'' magazine 2012]</ref>). Ngoài công trình cơ bản của Cardano, học thuyết về xác suất còn có từ sự tương ứng của [[Pierre de Fermat]] và [[Blaise Pascal]] (1654). [[Christiaan Huygens]] (1657) đã đưa ra phương pháp điều trị khoa học sớm nhất được biết đến đối với chủ đề này.<ref>{{Chú thích|title=A Brief History of Probability}}</ref> ''[[Ars Conjectandi]]'' của [[Jacob Bernoulli|Jakob Bernoulli]] (di cảo, 1713) và ''[[Học thuyết về cơ hội|Học thuyết Cơ hội của]]'' [[Abraham de Moivre]] (1718) coi chủ đề này như một nhánh của toán học.<ref>{{Chú thích sách|title=Quantum leap: from Dirac and Feynman, across the universe, to human body and mind|url=https://archive.org/details/quantumleapfromd00ivan|last=Ivancevic|first=Vladimir G.|last2=Ivancevic|first2=Tijana T.|publisher=World Scientific|year=2008|isbn=978-981-281-927-7|location=Singapore; Hackensack, NJ|page=[https://archive.org/details/quantumleapfromd00ivan/page/16 16]}}</ref> Xem ''Sự xuất hiện của Xác suất'' <ref name="Emergence3"/> [[Ian Hacking]] và ''Khoa học về Phỏng đoán'' <ref>{{Chú thích sách|title=The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal|last=Franklin|first=James|date=2001|publisher=Johns Hopkins University Press|isbn=978-0-8018-6569-5}}</ref> của [[James Franklin (triết gia)|James Franklin]] để biết lịch sử về sự phát triển ban đầu của khái niệm xác suất toán học.

[[Lý thuyết sai số]] có thể bắt nguồn từ cuốn ''Opera Miscellanea'' của [[Roger Cotes]] (di cảo, 1722), nhưng một cuốn hồi ký do [[Thomas Simpson]] soạn năm 1755 (in năm 1756) lần đầu tiên áp dụng lý thuyết này vào cuộc thảo luận về sai số khi quan sát.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Shoesmith|first=Eddie|date=November 1985|title=Thomas Simpson and the arithmetic mean|journal=Historia Mathematica|language=en|volume=12|issue=4|pages=352–355|doi=10.1016/0315-0860(85)90044-8|doi-access=free}}</ref> Lần tái bản (1757) của cuốn hồi ký này đưa ra tiên đề rằng các lỗi tích cực và tiêu cực đều có thể xảy ra như nhau, và các giới hạn có thể ấn định nhất định xác định phạm vi của tất cả các lỗi. Simpson cũng thảo luận về các lỗi liên tục và mô tả một đường cong xác suất.

Hai định luật sai số đầu tiên được đề xuất đều bắt nguồn từ [[Pierre-Simon Laplace]]. Luật đầu tiên được xuất bản vào năm 1774, và tuyên bố rằng tần suất của một lỗi có thể được biểu thị dưới dạng một [[hàm số]] mũ của mức độ lỗi - dấu hiệu bỏ qua. Định luật sai số thứ hai được Laplace đề xuất vào năm 1778, và tuyên bố rằng tần số của sai số là một hàm số mũ của bình phương sai số.<ref name="Wilson1923">Wilson EB (1923) "First and second laws of error". [[Journal of the American Statistical Association]], 18, 143</ref> Luật sai số thứ hai được gọi là phân phối chuẩn hay luật Gauss. "Về mặt lịch sử, rất khó để gán định luật đó cho Gauss, người mặc dù có sự thông minh nổi tiếng của mình nhưng có lẽ đã không phát hiện ra điều này trước khi được hai tuổi." <ref name="Wilson1923" />

[[Daniel Bernoulli]] (1778) đã đưa ra nguyên tắc tích cực đại của các xác suất của một hệ thống các lỗi đồng thời.

[[Adrien-Marie Legendre]] (1805) đã phát triển [[Bình phương tối thiểu tuyến tính|phương pháp bình phương nhỏ nhất]] và giới thiệu nó trong tác phẩm ''Nouvelles méthodes pour la détermination des obitanes des comètes'' (''Phương pháp mới để xác định quỹ đạo của sao chổi'').<ref>{{Chú thích web|url=http://statprob.com/encyclopedia/AdrienMarieLegendre.html|tựa đề="Adrien-Marie Legendre" (version 9)|tác giả=Seneta|tên=Eugene William|website=StatProb: The Encyclopedia Sponsored by Statistics and Probability Societies|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20160203070724/http://statprob.com/encyclopedia/AdrienMarieLegendre.html|ngày lưu trữ=ngày 3 tháng 2 năm 2016|ngày truy cập=ngày 27 tháng 1 năm 2016}}</ref> Khi thiếu hiểu biết về đóng góp của Legendre, một nhà văn người Mỹ gốc Ireland, [[Robert Adrain]], biên tập viên của "The Analyst" (1808), lần đầu tiên suy luận ra quy luật điều kiện của sai số,

:<math>\phi(x) = ce^{-h^2 x^2}</math>

Ở đây <math>h</math> là một hằng số phụ thuộc vào độ chính xác của quan sát, và <math>c</math> là một hệ số tỷ lệ đảm bảo rằng diện tích dưới đường cong bằng 1. Ông đã đưa ra hai bằng chứng, chứng minh thứ hai về cơ bản giống với của [[John Herschel]] (1850).{{Cần chú thích|date=June 2012}} [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] đã đưa ra bằng chứng đầu tiên dường như đã được biết đến ở Châu Âu (thứ ba sau Adrain) vào năm 1809. Các bằng chứng khác được đưa ra bởi Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), [[James Ivory (nhà toán học)|James Ivory]] (1825, 1826), Hagen (1837), [[Friedrich Bessel]] (1838), [[WF Donkin]] (1844, 1856) và [[Morgan Crofton]] (1870). Những người đóng góp khác là Ellis (1844), [[Augustus De Morgan|De Morgan]] (1864), [[James Whitbread Lee Glaisher|Glaisher]] (1872), và [[Giovanni Schiaparelli]] (1875). [[Christian August Friedrich Peters|Công thức của Peters]] (1856){{Cần giải thích|date=June 2012}} đối với ''r'', [[lỗi có thể xảy ra]] của một lần quan sát, đã được biết tường tận.

== Khái niệm ==

Về cơ bản có một tập hợp những quy luật toán để có thể biến đổi các giá trị của xác suất; những quy luật nầy sẽ được liệt kê ra trong phần "Sự hình thành của xác suất" dưới đâỵ. (Có một số các quy luật được khác dùng để định lượng sự ngẫu nhiên như trong lý thuyết [[Dempster-Shafer]] và [[lý thuyết khả tạo]] nhưng những quy luật này thì khác biệt từ bản chất và không tương hợp với cách hiểu thông thường các định luật về xác suất. Tuy nhiên, người ta vẫn còn tranh biện về những đối tượng chính xác nào mà trên đó những quy luật này được áp dụng. Đây là đầu đề của [[những diễn dịch của xác suất]].

Ý tưởng chung của xác suất thường được chia thành 2 khái niệm liên quan:

* [[Xác suất may rủi]] (aleatory probability), đề cập đến khả năng xảy ra của các sự kiện trong tương lai mà khả năng xảy ra của các sự kiện này phụ thuộc vào một hiện tượng vật lý nào đó mang tính ''ngẫu nhiên''. Khái niệm này còn được chia ra thành (1) các hiện tượng vật lý, về cơ bản, có thể dự đoán được khi có đủ thông tin và (2) các hiện tượng không thể dự đoán được. Ví dụ của loại trước là việc thả một con súc sắc hay quay một bánh xe roulette; ví dụ của loại sau là sự phân rã hạt nhân.
* [[Xác suất trong tri thức]] (epistemic probability), đề cập đến sự không chắc chắn của chúng ta về một mệnh đề nào đó vì thiếu thông tin cung cấp để suy luận. Ví dụ việc xác định khả năng một nghi phạm là có phạm tội, dựa trên các chứng cứ cung cấp.

== Sự hình thành xác suất ==

Như các [[lý thuyết]] khác, [[lý thuyết xác suất]] là một biểu diễn của khái niệm xác suất bằng các thuật ngữ hình thức - nghĩa là các thuật ngữ mà có thể xác định một cách độc lập với ý nghĩa của nó. 
Các thuật ngữ hình thức này được thao tác bởi các quy luật toán học và logic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain) của bài toán.

Có hai hướng công thức hóa xác suất đã thành công là sự hình thành công thức [[Andrey Nikolaevich Kolmogorov|Kolmogorov]] và sự hình thành công thức [[Richard Threlkeld Cox|Cox]]. Trong công thức của Kolmogorov, các [[tập hợp|tập]] được hiểu là các [[sự kiện (lý thuyết xác suất)|sự kiện]] và xác suất chính là một [[phép đo]] trên một lớp các tập đó.

Trong công thức của Cox, xác suất được xem là cái cơ bản (primitive - không thể phân tích thêm được nữa) và tập trung nghiên cứu vào việc xây dựng một phép gán tốt các giá trị xác suất đến các mệnh đề.
Trong cả hai trường hợp, các định luật về xác suất là như nhau, ngoại trừ yếu tố chi tiết kĩ thuật:

# xác suất là một giá trị số trong khoảng 0 và 1;
# xác suất của một sự kiện hay mệnh đề và phần bù của nó cộng lại phải bằng 1; và
# [[xác suất kết hợp]] của hai sự kiện hay hai mệnh đề là tích của các xác suất của một trong chúng và xác suất của cái thứ hai với điều kiện biết cái trước xảy ra.

=== Cách biểu diễn và chuyển đổi các giá trị xác suất ===
Xác suất của một sự kiện thương được biểu diễn bằng [[số thực]] trong khoảng 0 và 1, bao gồm 2 giá trị biên. Và một sự kiện không thể xảy ra thì có xác suất là 0, còn một sự kiện chắc chắn thì có xác suất là 1, nhưng điều ngược lại không đúng. 
Sự khác biệt giữa "chắc chắn" và "xác suất xảy ra 1" là rất quan trọng.

Hầu hết các giá trị xác suất xảy ra trong thực tế là giữa 0 và 1.

=== Sự phân bố ===
Một [[phân phối xác suất|phân bố xác suất]] là một hàm số nhằm gán các giá trị (gọi là xác suất) cho các sự kiện. Các giá trị số này đặc trưng cho khả năng xảy ra của các sự kiện. Với một tập bất kì các sự kiện, có rất nhiều cách để gán các xác suất, và thường dựa vào sự lựa chọn loại phân bố của các sự kiện đang xem xét.

Có nhiều cách để chỉ định một phân bố xác suất. Thông thường nhất có lẽ là chỉ định một [[hàm mật độ xác suất]] (''probability density function''). Từ đó, xác suất của một sự kiện sẽ được bằng cách lấy tích phân hàm mật độ. Tuy nhiên, hàm phân bố cũng có thể được chỉ định rõ trực tiếp. Trong trường hợp chỉ có một biến (hay một chiều), thì hàm phân bố được gọi là [[hàm phân phối tích lũy|hàm phân bố tích lũy]] (''cumulative distribution function''). Phân bố xác suất cũng có thể được chỉ định thông qua các giá trị [[mômen]] hay [[hàm đặc trưng]] (''characteristic function''), hay các cách khác nữa.

Một phân bố được gọi là '''phân bố rời rạc''' nếu nó được định ra trên một tập [[rời rạc]], [[tập hợp đếm được|đếm được]]; ví dụ tập các số nguyên.

Một phân bố được gọi là '''phân bố liên tục''' nếu nó được định ra trên một tập [[vô tận|vô hạn]], [[không đếm được]].

Hầu hết các phân bố trong các ứng dụng thực tế đều hoặc là một trong hai, nhưng có một số ví dụ về phân bố bao gồm của cả hai, gọi là phân bố hỗn hợp.
<!-- Such as?? (to be filled in) -->

Các phân bố rời rạc quan trọng bao gồm [[phân bố đồng nhất]], [[phân phối Poisson|phân bố Poisson]], [[phân phối nhị thức|phân bố nhị thức]], [[phân bố nhị thức âm]] và [[phân bố Maxwell-Boltzmann]].

Các phân bố liên tục quan trọng bao gồm [[phân phối chuẩn|phân bố chuẩn]] (hay còn gọi là phân bố Gauss), [[phân bố gamma]], [[phân bố-t của Student]] (''Student's t-distribution''), và [[phân bố hàm mũ]] (''exponential distribution'').

== Xác suất với toán học ==
[[Tiên đề xác suất]] tạo thành nền tảng cho [[lý thuyết xác suất]]. Việc tính toán các xác suất thường dựa vào phép [[tổ hợp (toán học)|tổ hợp]] hoặc áp dụng trực tiếp các tiên đề. Các ứng dụng xác suất bao gồm [[khoa học Thống kê|thống kê]], nó dựa vào ý tưởng [[phân phối xác suất|phân bố xác suất]] và [[định lý giới hạn trung tâm]].

Để minh họa, ta xem việc tung một đồng xu cân đối. Về mặt trực quan, xác suất để ''head'' xuất hiện phía trên là 50%; nhưng phát biểu này thiếu tính toán học - Vậy con số 50% có ý nghĩa thực sự thế nào trong ví dụ này?

Một hướng là dùng [[định luật số lớn]]. Giả sử là ta thực hiện một số lần gieo đồng xu, với mỗi lần gieo là độc lập nhau - nghĩa là, kết quả của 2 lần gieo khác nhau là độc lập nhau. Nếu ta tiến hành ''N'' lần gieo (trials), và đặt ''N''<sub>H</sub> là số lần mà mặt ''head'' xuất hiện, thì với tỉ lệ ''N''<sub>H</sub>/''N''.

Khi số lần gieo ''N'' trở nên lớn, ta kì vọng rằng tỉ lệ ''N''<sub>H</sub>/''N'' sẽ tiến gần hơn đến giá trị 1/2. Điều này cho phép ta định nghĩa xác suất Pr(''H'') của mặt ''head'' xuất hiện là [[giới hạn (toán học)|giới hạn]], khi ''N'' tiến ra vô cùng, của chuỗi các tỉ lệ này:

:<math>\Pr(H) = \lim_{N \to \infty}{N_H \over N} </math>

Trong thực tế, dĩ nhiên ta không thể tiến hành vô hạn lần các lần gieo được; vì thế, nói chung công thức này áp dụng chính xác cho tình huống khi mà chúng ta biết được một xác suất cho sẵn (''a priori'') cho một kết quả đầu ra nào đó (mà trong ví dụ này là thông tin đồng xu cân đối). Khi đó, định luật số lớn phát biểu rằng, khi cho biết Pr(''H''), và với một số nhỏ bất kì ε, luôn tồn tại một giá trị ''n'' sao cho với mọi ''N'' > ''n'',

:<math>\left| \Pr(H) - {N_H \over N}\right| < \epsilon</math>

Khía cạnh thông tin cho sẵn ''a priori'' của hướng tiếp cận này đôi khi gặp khó khăn trong thực tiễn. Ví dụ, trong với kịch ''[[Rosencrantz and Guildenstern are Dead]]'' của [[Tom Stoppard]], một nhân vật gieo đồng xu mà luôn xuất hiện mặt ''head'', sau 100 lần gieo. Ông ta không thể xác định đây là sự kiện ngẫu nhiên hay không - vì dù sao, điều này vẫn có thể xảy ra với đồng xu cân đối (dù hiếm).

=== Những chú ý khi tính toán xác suất ===
Khó khăn trong việc tính toán xác suất nằm ở việc xác định số sự kiện có thể xảy ra (possible events): đếm số lần xuất hiện của mỗi sự kiện, và đếm số lượng sự kiện có thể xảy ra đó. Đặc biệt khó khăn trong việc rút ra một kết luận có ý nghĩa từ các xác suất tính được. Một bài toán đố thú vị, [[bài toán Monty Hall]] sẽ cho thấy điều này.

Để học thêm về cơ bản của [[lý thuyết xác suất]], xem bài viết về [[tiên đề xác suất]] và [[định lý Bayes]] giải thích việc sử dụng [[xác suất có điều kiện]] trong trường hợp sự xuất hiện của 2 sự kiện là có liên quan nhau.

== Ứng dụng của xác suất với đời sống hàng ngày ==
Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định ''rủi ro'' và trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là ''phân tích đường lối''.

Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng [[lý thuyết độ tin cậy]] trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm.

== Các câu nói nổi tiếng về xác suất ==
* [[Damon Runyon]]: "It may be that the race is not always to the swift, nor the battle to the strong - but that is the way to bet."
* [[Pierre-Simon Laplace]]: "It is remarkable that a science which began with the consideration of games of chance should have become the most important object of human knowledge." ''Théorie Analytique des Probabilités'', 1812.
* [[Richard von Mises]]: "The unlimited extension of the validity of the exact sciences was a characteristic feature of the exaggerated rationalism of the eighteenth century"  (''Probability, Statistics, and Truth,'' tr. 9. Ấn bản Dover, 1981 (tái bản ấn bản 2 bằng tiếng Anh, 1957).
* [[Richard von Mises]]: "LỪA DỐI" (''Probability, Statistics, and Truth,'' tr. 9. Ấn bản Dover, 1981 (tái bản ấn bản 2 bằng tiếng Anh, 1957).

== Xem thêm ==
* [[Xác suất Bayes]]
* [[Quá trình Bernoulli]]
* [[Định lý Cox]]
* [[Lý thuyết quyết định]]
* [[Lý thuyết phép đo mờ]]
* [[Trò chơi may rủi]]
* [[Lý thuyết trò chơi]]
* [[Lý thuyết thông tin]]
* [[Định luật trung bình]]
* [[Định luật số lớn]]
* [[Lý thuyết phép đo]]
* [[Phân phối chuẩn]]
* [[Trường ngẫu nhiên]]
* [[Biến ngẫu nhiên]]
* [[Khoa học Thống kê|Thống kê]]
* [[Quá trình ngẫu nhiên]]
* [[Quá trình Wiener]]
==Chú thích==
<references group="note"/>
==Tham khảo==
{{tham khảo}}
==Đọc thêm==
* [[Olav Kallenberg|Kallenberg, O.]] (2005) ''Probabilistic Symmetries and Invariance Principles''. Springer-Verlag, New York. 510 pp.&nbsp;{{isbn|0-387-25115-4}}
* Kallenberg, O. (2002) ''Foundations of Modern Probability,'' 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp.&nbsp;{{isbn|0-387-95313-2}}
* Olofsson, Peter (2005) ''Probability, Statistics, and Stochastic Processes'', Wiley-Interscience. 504 pp {{isbn|0-471-67969-0}}.

== Liên kết ngoài ==
* [http://www.cut-the-knot.org/probability.shtml A Collection of articles on Probability, many of which are accompanied by Java simulations]
* [[Edwin Thompson Jaynes]]. ''Probability Theory: The Logic of Science''. Preprint: Washington University, (1996). -- [http://omega.albany.edu:8008/JaynesBook.html HTML] and [http://bayes.wustl.edu/etj/prob/book.pdf PDF]
* [http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html An online probability textbook which uses computer programming as a teaching aid] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |date=2011-07-27 }}
* [http://www.csse.monash.edu.au/~footy Probabilistic football prediction competition], [http://www.csse.monash.edu.au/~footy/about.shtml probabilistic scoring] and [http://www.csse.monash.edu.au/~footy/bibliography.shtml Đọc thêm].
* "''[http://www.npr.org/display_pages/features/feature_1697475.html The Not So Random Coin Toss], Mathematicians Say Slight but Real Bias Toward Heads''". [[NPR]].
* [http://www.pvv.ntnu.no/~nsaa/poker.html Poker Probability]
* [http://www.benbest.com/science/theodds.html Figuring the Odds (Probability Puzzles)]
* [http://www.indepthinfo.com/probability-poker/index.shtml Probability and Poker]
* [http://etext.lib.virginia.edu/cgi-local/DHI/dhi.cgi?id=dv1-43 ''Dictionary of the History of Ideas'':] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050404045810/http://etext.lib.virginia.edu/cgi-local/DHI/dhi.cgi?id=dv1-43 |date=2005-04-04 }} Certainty in Seventeenth-Century Thought
* [http://etext.lib.virginia.edu/cgi-local/DHI/dhi.cgi?id=dv1-44 ''Dictionary of the History of Ideas'':] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050404045814/http://etext.lib.virginia.edu/cgi-local/DHI/dhi.cgi?id=dv1-44 |date=2005-04-04 }} Certainty since the Seventeenth Century

{{thể loại Commons|Probability}}

[[Thể loại:Xác suất| ]]
[[Thể loại:Số không thứ nguyên]]
[[Thể loại:Bài cơ bản dài trung bình]]
[[Thể loại:Xác suất và thống kê]]