Xem mã nguồn của Sách toán/Tích phân

'''Tích phân''' là một phép toán giải tích tìm diện tích dưới hình của một hàm số toán f(x) . 

==Loại toán tích phân ==
Có 2 loại toán tích phân

:{|width=100%
|-
| '''Loại tích phân ''' || '''Hình ''' || '''Công thức '''
|-
| Tích phân hửu hạn|| [[Hình:Integral as region under curve.png|150px]]  ||<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)</math>
|-
| Tích phân vô hạn || [[Hình:Integral as region under curve.png|150px]] || <math>\int f(x) dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \sum ( f(x) + \frac{\Delta f(x)}{2}) \Delta x = F(x) + C</math>
|-
|}

===Tích phân hửu hạn===
Tích phân xác định là phép toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền xác định
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)</math>

====Luật toán tích phân xác định====
:{|width=100%
|-
| || <math>\int \limits_a^a f(x)dx = 0</math>
|-
| || <math>\int \limits_a^b f(x)dx = - \int \limits_b^a f(x)dx</math>
|-
| || <math>\int \limits_a^b f(x)dx = \int \limits_a^c f(x)dx +  \int \limits_c^b f(x)dx </math>
|-
| ||  <math>\int \limits_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int \limits_a^b f(x)dx \pm \int \limits_a^b g(x)dx</math>
|-
| || <math>\int \limits_a^b kf(x) dx = k \int \limits_a^b f(x) dx</math> 
|-
| || <math>\int \limits_a^b n dx = nx  = nb - na = n(b-a)</math>
|}

====Tính toán tích phân hửu hạn====
Toán trung bình
:<math>\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \frac{1}{b-a} [F(b) - F(a)]</math>

Toán căn trung bình
:<math>\sqrt{\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\, dx} = \sqrt{\frac{1}{b-a} [F(b) - F(a)]}</math>

===Tích phân vô hạn===
Tích phân bất định là một loại toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền không xác định . Phép toán tìm diện tích dưới hình hàm số

====Luật toán tích phân bất định====
:{| width=100% 
|-
|'''Quy luật'''
|'''Công thức'''
|'''Điều kiện'''
|-
|height=55|  1 
| <math>\int a\,dx = ax</math>
|
|-
|height=55| 2  Homogeniety
| <math>\int af(x) \,dx = a\int f(x)\,dx</math>
|
|-
|height=55| 3  Associativity
| <math> \int{ \left( f \pm g \pm h \pm \cdots \right) \,dx} = \int f \,dx \pm \int g \,dx \pm \int h \,dx \pm \cdots</math>
|
|-
|height=55| 4  Integration by Parts
| <math>\int_a^b f g'\,dx = \left[ f g \right]_{a}^{b} - \int_a^b g f' \,dx</math>
|
|-
|height=55| 4  General Integration by Parts
| <math>\int  f^{(n)} g \,dx = f^{(n-1)}g' - f^{(n-2)}g'' + \ldots + (-1)^n \int f g^{(n)} \,dx</math>
|
|-
|height=55| 5
| <math>\int f(ax) \,dx = \frac{1}{a} \int f(x) \, dx</math>
|
|-
|height=55| 6  Substitution Rule
| <math>\int g \{ f (x) \} \,dx = \int g(u) \frac{dx}{du} \, du = \int \frac{g(u)}{f'(x) } \,du</math>
| <math>u= f(x)\,</math>
|-
|height=55| 7  
| <math>\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}</math>
| <math>n \ne -1\,</math>
|-
|height=55| 8 
| <math>\int \frac{1}{x} \,dx = \ln |x|</math>
|
|-
|height=55| 9 
| <math>\int e^x \, dx = e^x</math>
|
|-
|height=55| 10 
| <math>\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln |a|}</math>
| <math>a \ne 1</math>
|-
|}

====Công thức toán tích phân bất định====
=====Tích Phân Hàm Số Thường=====
{| width=90% style="text-align:center; margin: 1em auto 1em auto"
!width=6%|&nbsp;
!width=32%|Integral
!width=32%|Value
!width=22%|Remarks
|-
| 1
|<math>\int c \,dx</math>
|<math>cx+C\,</math>||
|-
| 2 
|<math>\int x^n\,dx</math>
|<math>\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>
|<math>n \ne -1</math>
|-
| 3
|<math>\int \frac{1}{x}\,dx</math>
|<math>\ln{\left|x\right|}+C</math>||
|-
| 4
|<math>\int {1 \over {a^2+x^2}} \,dx</math>
|<math>{1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math>||
|-
| 5
|<math>\int {1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \,dx</math>
|<math>\arcsin {x \over a} + C</math>||
|-
| 6
|<math>\int {-1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \,dx</math>
|<math>\arccos {x \over a} + C</math>||
|-
| 7
|<math>\int {1 \over x\sqrt{x^2-a^2}} \,dx</math>
|<math>{1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|x| \over a} + C</math>||
|-
| 8
|<math>\int \ln {x}\,dx</math>
|<math>x \ln {x} - x + C \,</math>||
|-
| 9
|<math>\int \log_b {x}\,dx</math>
|<math>x\log_b {x} - x\log_b {e} + C\,</math>||
|-
| 10
|<math>\int e^x\,dx</math>
|<math>e^x + C \,</math>||
|-
| 11
|<math>\int a^x\,dx</math>
|<math>\frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>||
|-
| 12
|<math>\int \sin{x}\, dx</math>
|<math>-\cos{x} + C\,</math>||
|-
| 13
|<math>\int \cos{x}\, dx </math>
|<math>\sin{x} + C\,</math>||
|-
| 14
|<math>\int \tan{x} \, dx</math>
|<math>-\ln{\left| \cos {x} \right|} + C\,</math>||
|-
| 15
|<math>\int \cot{x} \, dx</math>
|<math>\ln{\left| \sin{x} \right|} + C\,</math>||
|-
| 16
|<math>\int \sec{x} \, dx</math>
|<math>\ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C\,</math>||
|-
| 17
|<math>\int \csc{x} \, dx </math>
|<math>-\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C\,</math>||
|-
| 18
|<math>\int \sec^2 x \, dx </math>
|<math>\tan x + C\,</math>||
|-
| 19
|<math>\int \csc^2 x \, dx</math>
|<math>-\cot x + C\,</math>||
|-
| 20
|<math>\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx</math>
|<math>\sec{x} + C\,</math>||
|-
| 21
|<math>\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx</math>
|<math>- \csc{x} + C\,</math>||
|-
| 22
|<math>\int \sin^2 x \, dx</math>
|<math>\frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C\,</math>||
|-
| 23
|<math>\int \cos^2 x \, dx</math>
|<math>\frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C\,</math>||
|-
| 24
|<math>\int \sin^n x \, dx</math>
|<math>- \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx</math>||
|-
| 25
|<math>\int \cos^n x \, dx</math>
|<math>- \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx</math>||
|-
| 26
|<math>\int \arctan{x} \, dx</math>
|<math>x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C</math>||
|-
| 27
|<math>\int \sinh x \, dx</math>
|<math>\cosh x + C\,</math>||
|-
| 28
|<math>\int \cosh x \, dx </math>
|<math>\sinh x + C\,</math>||
|-
| 29
|<math>\int \tanh x \, dx</math>
|<math>\ln |\cosh x| + C\,</math>||
|-
| 30
|<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx</math>
|<math>\ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math>||
|-
| 31
|<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx</math>
|<math>\arctan(\sinh x) + C\,</math>||
|-
| 32
|<math>\int \coth x \, dx</math>
|<math>\ln|\sinh x| + C\,</math>||
|}

=====Tích Phân Hàm Số Hyperboly=====
Dưới đây là '''danh sách [[tích phân]] với [[hàm hypebolic]].

: <math>\int\sinh cx\,dx = \frac{1}{c}\cosh cx</math>

: <math>\int\cosh cx\,dx = \frac{1}{c}\sinh cx</math>

: <math>\int\sinh^2 cx\,dx = \frac{1}{4c}\sinh 2cx - \frac{x}{2}</math>

: <math>\int\cosh^2 cx\,dx = \frac{1}{4c}\sinh 2cx + \frac{x}{2}</math>

: <math>\int\sinh^n cx\,dx = \frac{1}{cn}\sinh^{n-1} cx\cosh cx - \frac{n-1}{n}\int\sinh^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}</math>

: hay: <math>\int\sinh^n cx\,dx = \frac{1}{c(n+1)}\sinh^{n+1} cx\cosh cx - \frac{n+2}{n+1}\int\sinh^{n+2}cx\,dx \qquad\mbox{( }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}</math>

: <math>\int\cosh^n cx\,dx = \frac{1}{cn}\sinh cx\cosh^{n-1} cx + \frac{n-1}{n}\int\cosh^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}</math>

: hay: <math>\int\cosh^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n+1)}\sinh cx\cosh^{n+1} cx - \frac{n+2}{n+1}\int\cosh^{n+2}cx\,dx \qquad\mbox{( }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}</math>

: <math>\int\frac{dx}{\sinh cx} = \frac{1}{c} \ln\left|\tanh\frac{cx}{2}\right|</math>

: hay: <math>\int\frac{dx}{\sinh cx} = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\cosh cx - 1}{\sinh cx}\right|</math>

: hay: <math>\int\frac{dx}{\sinh cx} = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\sinh cx}{\cosh cx + 1}\right|</math>

: hay: <math>\int\frac{dx}{\sinh cx} = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\cosh cx - 1}{\cosh cx + 1}\right|</math>

: <math>\int\frac{dx}{\cosh cx} = \frac{2}{c} \arctan e^{cx}</math>

: <math>\int\frac{dx}{\sinh^n cx} = \frac{\cosh cx}{c(n-1)\sinh^{n-1} cx}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sinh^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int\frac{dx}{\cosh^n cx} = \frac{\sinh cx}{c(n-1)\cosh^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cosh^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int\frac{\cosh^n cx}{\sinh^m cx} dx = \frac{\cosh^{n-1} cx}{c(n-m)\sinh^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cosh^{n-2} cx}{\sinh^m cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}</math>

: hay: <math>\int\frac{\cosh^n cx}{\sinh^m cx} dx = -\frac{\cosh^{n+1} cx}{c(m-1)\sinh^{m-1} cx} + \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cosh^n cx}{\sinh^{m-2} cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}</math>

: hay: <math>\int\frac{\cosh^n cx}{\sinh^m cx} dx = -\frac{\cosh^{n-1} cx}{c(m-1)\sinh^{m-1} cx} + \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cosh^{n-2} cx}{\sinh^{m-2} cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int\frac{\sinh^m cx}{\cosh^n cx} dx = \frac{\sinh^{m-1} cx}{c(m-n)\cosh^{n-1} cx} + \frac{m-1}{m-n}\int\frac{\sinh^{m-2} cx}{\cosh^n cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}</math>

: hay: <math>\int\frac{\sinh^m cx}{\cosh^n cx} dx = \frac{\sinh^{m+1} cx}{c(n-1)\cosh^{n-1} cx} + \frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\sinh^m cx}{\cosh^{n-2} cx} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: hay: <math>\int\frac{\sinh^m cx}{\cosh^n cx} dx = -\frac{\sinh^{m-1} cx}{c(n-1)\cosh^{n-1} cx} + \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\sinh^{m -2} cx}{\cosh^{n-2} cx} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int x\sinh cx\,dx = \frac{1}{c} x\cosh cx - \frac{1}{c^2}\sinh cx</math>

: <math>\int x\cosh cx\,dx = \frac{1}{c} x\sinh cx - \frac{1}{c^2}\cosh cx</math>

: <math>\int \tanh cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\cosh cx|</math>

: <math>\int \coth cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\sinh cx|</math>

: <math>\int \tanh^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n-1)}\tanh^{n-1} cx+\int\tanh^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int \coth^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n-1)}\coth^{n-1} cx+\int\coth^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int \sinh bx \sinh cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\sinh cx \cosh bx - c\cosh cx \sinh bx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}</math>

: <math>\int \cosh bx \cosh cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\sinh bx \cosh cx - c\sinh cx \cosh bx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}</math>

: <math>\int \cosh bx \sinh cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\sinh bx \sinh cx - c\cosh bx \cosh cx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}</math>

: <math>\int \sinh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)</math>

: <math>\int \sinh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)</math>

: <math>\int \cosh (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)</math>

: <math>\int \cosh (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)</math>

=====Tích Phân Hàm Số Hyperboly Ngược=====
Dưới đây là '''danh sách các [[tích phân]] với [[hàm hypebolic ngược]]'''.

: <math>\int\mathrm{arsinh}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arsinh}\,\frac{x}{c}-\sqrt{x^2+c^2}</math>

: <math>\int\mathrm{arcosh}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arcosh}\,\frac{x}{c}-\sqrt{x^2-c^2}</math>

: <math>\int\mathrm{artanh}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{artanh}\,\frac{x}{c} + \frac{c}{2}\ln|c^2 - x^2| \qquad\mbox{( }|x|<|c|\mbox{)}</math>

: <math>\int\mathrm{arcoth}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arcoth}\,\frac{x}{c} + \frac{c}{2}\ln|x^2 - c^2| \qquad\mbox{( }|x|>|c|\mbox{)}</math>

: <math>\int\mathrm{arsech}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arsech}\,\frac{x}{c} - c\,\mathrm{arctan}\,\frac{x\,\sqrt{\frac{c - x}{c + x}}}{x - c} \qquad\mbox{( } x \in (0,\,c) \mbox{)}</math>

: <math>\int\mathrm{arcsch}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arcsch}\,\frac{x}{c} + c\,\ln\,\frac{x + \sqrt{x^2 + c^2}}{c} \qquad\mbox{( } x \in (0,\,c) \mbox{)}</math>

=====Tích phân hàm số Logarit=====
Dưới đây là '''danh sách [[tích phân]] với [[hàm lôgarít]].

''Chú ý:'' bài này quy ước ''x''&gt;0.

: <math>\int\ln cx\,dx = x\ln cx - x</math>

*: <math>\int (\ln x)^2\; dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x</math>

*: <math>\int (\ln cx)^n\; dx = x(\ln cx)^n - n\int (\ln cx)^{n-1} dx</math>

*: <math>\int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{i=2}\frac{(\ln x)^i}{i\cdot i!}</math>

*: <math>\int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

*: <math>\int x^m\ln x\;dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{( }m\neq -1\mbox{)}</math>

*: <math>\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx  \qquad\mbox{( }m\neq -1\mbox{)}</math>

*: <math>\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}  \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}</math>

*: <math>\int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}</math>

*: <math>\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} \qquad\mbox{(  }m\neq 1\mbox{)}</math>

*: <math>\int \frac{x^m\; dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}}  \qquad\mbox{(  }n\neq 1\mbox{)}</math>

*: <math>\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|</math>

*: <math>\int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1} (-1)^i\frac{(n-1)^i(\ln x)^i}{i\cdot i!}</math>

*: <math>\int \frac{dx}{x (\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

*: <math>\int \sin (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x))</math>

*: <math>\int \cos (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x))</math>

=====Tích phân hàm số mũ=====
Dưới đây là '''danh sách các [[tích phân]] với [[hàm mũ]]'''.

: <math>\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}</math>

: <math>\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx} \qquad\mbox{( } a > 0,\mbox{ }a \ne 1\mbox{)}</math>

: <math>\int xe^{cx}\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)</math>

: <math>\int x^2 e^{cx}\;dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)</math>

: <math>\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx</math>

: <math>\int\frac{e^{cx}\; dx}{x} = \ln|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}</math>

: <math>\int\frac{e^{cx}\; dx}{x^n} = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,dx\right) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int e^{cx}\ln x\; dx = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)</math>

: <math>\int e^{cx}\sin bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)</math>

: <math>\int e^{cx}\cos bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)</math>

: <math>\int e^{cx}\sin^n x\; dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;dx</math>

: <math>\int e^{cx}\cos^n x\; dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;dx</math>

:<math>\int x e^{c x^2 }\; dx= \frac{1}{2c} \;  e^{c x^2}</math>

:<math>\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; dx= \frac{1}{2 \sigma} (1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}})</math>

:<math>\int e^{x^2}\,dx = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;dx  \quad ( n > 0 ),  </math>
::với <math> c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{2j\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ . </math> 

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi \over a}</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-{x^2}/{a^2}}\,dx=\sqrt{\pi} {(2n)! \over {n!}} {\left (\frac{a}{2} \right)}^{2n + 1}</math>

=====Tích phân hàm số lượng giác=====
Tích phân hàm số [[sine]] 

: <math>\int\sin ax\;dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C\,\!</math>

: <math>\int\sin^2 {ax}\;dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} \sin 2ax +C= \frac{x}{2} - \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C\!</math>

: <math>\int x\sin^2 {ax}\;dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4a} \sin 2ax - \frac{1}{8a^2} \cos 2ax +C\!</math>

: <math>\int x^2\sin^2 {ax}\;dx = \frac{x^3}{6} - \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax - \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C\!</math>

: <math>\int\sin b_1x\sin b_2x\;dx = \frac{\sin((b_1-b_2)x)}{2(b_1-b_2)}-\frac{\sin((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C \qquad\mbox{(for }|b_1|\neq|b_2|\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\sin^n {ax}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\ln \left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C</math>

: <math>\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int x\sin ax\;dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C\,\!</math>

: <math>\int x^n\sin ax\;dx = -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2}   \qquad\mbox{(for }n=2,4,6...\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{\sin ax}{x} dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C\,\!</math>

: <math>\int\frac{\sin ax}{x^n} dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}} dx\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C</math>

: <math>\int\frac{x\;dx}{1+\sin ax} = \frac{x}{a}\tan\left(\frac{ax}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|+C</math>

: <math>\int\frac{x\;dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C</math>

* Tích phân bất định [[cosine]] 

: <math>\int\cos ax\;dx = \frac{1}{a}\sin ax+C\,\!</math>

: <math>\int\cos^n ax\;dx = \frac{\cos^{n-1} ax\sin ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int x\cos ax\;dx = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C\,\!</math>

: <math>\int\cos^2 {ax}\;dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \sin 2ax +C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C\!</math>

: <math>\int x^2\cos^2 {ax}\;dx = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C\!</math>

: <math>\int x^n\cos ax\;dx = \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,\!</math>

: <math>\int\frac{\cos ax}{x} dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{\cos ax}{x^n} dx = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C</math>

: <math>\int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{x\;dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C</math>

: <math>\int\frac{x\;dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\cos ax\;dx}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{\cos ax\;dx}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C\,\!</math>

: <math>\int\cos a_1x\cos a_2x\;dx = \frac{\sin(a_1-a_2)x}{2(a_1-a_2)}+\frac{\sin(a_1+a_2)x}{2(a_1+a_2)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}\,\!</math>

* Tích phân bất định[[tangent (trigonometric function)|tangent]]

: <math>\int\tan ax\;dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C\,\!</math>

: <math>\int\tan^n ax\;dx = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} ax-\int\tan^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad\mbox{(for }p^2 + q^2\neq 0\mbox{)}\,\!</math>


: <math>\int\frac{dx}{\tan ax} = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{\tan ax + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{\tan ax - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C\,\!</math>

=====Tích phân bất địnhonly [[secant]] =====

:<math>\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C</math>

:<math>\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{ax} \sin {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}\,\!</math>

:<math>\int \sec^n{x} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,dx</math>
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C</math>

===== Tích phân bất định [[cosecant]] =====

:<math>\int \csc{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax} - \cot{ax}\right|}+C</math>

:<math>\int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x}+C</math>

:<math>\int \csc^n{ax} \, dx = -\frac{\csc^{n-1}{ax} \cos{ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}\,\!</math>

===== Tích phân bất định [[cotangent]] =====

:<math>\int\cot ax\;dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C\,\!</math>

: <math>\int\cot^n ax\;dx = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax+1}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax-1}\,\!</math>

===== Tích phân bất định[[sine]] and [[cosine]] =====

: <math>\int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C</math>

: <math>\int\frac{dx}{(\cos ax\pm\sin ax)^2} = \frac{1}{2a}\tan\left(ax\mp\frac{\pi}{4}\right)+C</math>

: <math>\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)</math>

: <math>\int\frac{\cos ax\;dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\cos ax\;dx}{\cos ax - \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax - \sin ax} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\cos ax\;dx}{\sin ax(1+\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\tan^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\cos ax\;dx}{\sin ax(1+-\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\cot^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax(1+\sin ax)} = \frac{1}{4a}\cot^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax(1-\sin ax)} = \frac{1}{4a}\tan^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C</math>

: <math>\int\sin ax\cos ax\;dx = \frac{1}{2a}\sin^2 ax +C\,\!</math>

: <math>\int\sin a_1x\cos a_2x\;dx = -\frac{\cos(a_1+a_2)x}{2(a_1+a_2)}-\frac{\cos(a_1-a_2)x}{2(a_1-a_2)} +C\qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\sin^n ax\cos ax\;dx = \frac{1}{a(n+1)}\sin^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\sin ax\cos^n ax\;dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos^{m+1} ax}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} ax\cos^m ax\;dx  \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)}\,\!</math>

: also: <math>\int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = \frac{\sin^{n+1} ax\cos^{m-1} ax}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n ax\cos^{m-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{\sin ax\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan ax\right|+C</math>

: <math>\int\frac{dx}{\sin ax\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin ax\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{dx}{\sin^n ax\cos ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{\sin^2 ax\;dx}{\cos ax} = -\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right)\right|+C</math>

: <math>\int\frac{\sin^2 ax\;dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1)\cos^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} ax\;dx}{\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^m ax} = \frac{\sin^{n+1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: also: <math>\int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^m ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-m)\cos^{m-1} ax}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} ax\;dx}{\cos^m ax} \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\,\!</math>

: also: <math>\int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^m ax} = \frac{\sin^{n-1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-2} ax\;dx}{\cos^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{\cos ax\;dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: <math>\int\frac{\cos^2 ax\;dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\left(\cos ax+\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|\right) +C</math>

: <math>\int\frac{\cos^2 ax\;dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos ax}{a\sin^{n-1} ax)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax}\right) \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n+1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-m-2}{m-1}\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

: also: <math>\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = \frac{\cos^{n-1} ax}{a(n-m)\sin^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cos^{n-2} ax\;dx}{\sin^m ax} \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\,\!</math>

: also: <math>\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\;dx}{\sin^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

* Tích phân bất định [[sine]] and [[tangent]] 

: <math>\int \sin ax \tan ax\;dx = \frac{1}{a}(\ln|\sec ax + \tan ax| - \sin ax)+C\,\!</math>

: <math>\int\frac{\tan^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} (ax) +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

* Tích phân bất định [[cosine]] and [[tangent]] 

: <math>\int\frac{\tan^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\tan^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>

* Tích phân bất định [[sine]] and [[cotangent]] 

: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax  +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>

* Tích phân bất định[[cosine]] and [[cotangent]] 

: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(1-n)}\tan^{1-n} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>

* Tích phân bất định 

: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\sin {x}\;dx = 0 \!</math>
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\cos {x}\;dx = 2\int_{{0}}^{{c}}\cos {x}\;dx = 2\int_{{-c}}^{{0}}\cos {x}\;dx = 2\sin {c} \!</math>
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\tan {x}\;dx = 0 \!</math>
: <math>\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2}   \qquad\mbox{(for }n=1,3,5...\mbox{)}\,\!</math>

=====Tích phân hàm lượng giác ngược=====
Dưới đây là '''danh sách các [[tích phân]] với [[hàm lượng giác ngược]]'''.

: <math>\int\arcsin\frac{x}{c}\,dx = x\arcsin\frac{x}{c} + \sqrt{c^2-x^2}</math>

: <math>\int x \arcsin\frac{x}{c}\,dx = \left(\frac{x^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)\arcsin\frac{x}{c} + \frac{x}{4}\sqrt{c^2-x^2}</math>

: <math>\int x^2 \arcsin\frac{x}{c}\,dx = \frac{x^3}{3}\arcsin\frac{x}{c} + \frac{x^2+2c^2}{9}\sqrt{c^2-x^2}</math>

: <math>\int x^n \sin^{-1}x\,dx = \frac{1}{n+1}\left(x^{n+1}\sin^{-1}x  \right.</math>
:::<math>\left. + \frac{x^n\sqrt{1 - x^2} - nx^{n-1}\sin^{-1}x}{n-1} + n\int x^{n-2}\sin^{-1}x\,dx\right)</math>

: <math>\int\arccos\frac{x}{c}\,dx = x\arccos\frac{x}{c} - \sqrt{c^2-x^2}</math>

: <math>\int x \arccos\frac{x}{c}\,dx = \left(\frac{x^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)\arccos\frac{x}{c} - \frac{x}{4}\sqrt{c^2-x^2}</math>

: <math>\int x^2 \arccos\frac{x}{c}\,dx = \frac{x^3}{3}\arccos\frac{x}{c} - \frac{x^2+2c^2}{9}\sqrt{c^2-x^2}</math>

: <math>\int\arctan\frac{x}{c}\,dx = x\arctan\frac{x}{c} - \frac{c}{2}\ln(c^2+x^2)</math>

: <math>\int x \arctan\frac{x}{c}\,dx = \frac{c^2+x^2}{2}\arctan\frac{x}{c} - \frac{cx}{2}</math>

: <math>\int x^2 \arctan\frac{x}{c}\,dx = \frac{x^3}{3}\arctan\frac{x}{c} - \frac{cx^2}{6} + \frac{c^3}{6}\ln{c^2+x^2}</math>

: <math>\int x^n \arctan\frac{x}{c}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\arctan\frac{x}{c} - \frac{c}{n+1}\int\frac{x^{n+1} dx}{c^2+x^2} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

: <math>\int \arcsec{\frac{x}{c}}\,dx = x \arcsec{\frac{x}{c}} + \frac{x}{c|x|}\ln{|x \pm \sqrt{x^2 - 1}|}</math>

: <math>\int x\arcsec{x}\,dx\,=\,\frac{1}{2}\left(x^2\arcsec{x} - \sqrt{x^2 - 1}\right) </math>

: <math>\int x^n\arcsec{x}\,dx\,=\,\frac{1}{n+1}\left(x^{n+1}\arcsec{x} - \frac{1}{n}\left(x^{n-1}\sqrt{x^2 - 1}\; \right. \right.</math>
::: <math>\left. \left. + (1-n)\left(x^{n-1}\arcsec{x} + (1-n)\int x^{n-2}\arcsec{x}\,dx \right)\right)\right)</math>

: <math>\int\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c}\,dx = x\,\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c} + \frac{c}{2}\ln(c^2+x^2)</math>

: <math>\int x\,\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c}\,dx = \frac{c^2+x^2}{2}\,\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c} + \frac{cx}{2}</math>

: <math>\int x^2\,\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c}\,dx = \frac{x^3}{3}\,\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c} + \frac{cx^2}{6} - \frac{c^3}{6}\ln(c^2+x^2)</math>

: <math>\int x^n\,\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\,\mathrm{arccot}\,\frac{x}{c} + \frac{c}{n+1}\int\frac{x^{n+1} dx}{c^2+x^2} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>

==Hoán chuyển tích phân==
Phép toán giải tích của một tích phân xác định dùng trong việc Hoán chuyển hệ tóan bao gồm 2 lọai hóan chuyển [[Hoán chuyển Laplace]] và [[Hoán chuyển Fourier]]

===Hoán chuyển Laplace===
Hoán chuyển Laplace là phép toán tích phân dùng trong việc hoán chuyển hệ thời gian t sang hệ Laplace s dùng công thức sau

: <math>\mathcal{L}\{f(t)\}= F(s) = \int\limits_{0^-}^{\infty} f(t)e^{-st}dt</math>

[[Biến đổi Laplace ngược]] giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s)

:<math>\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}=f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma -i \infty}^{\gamma +i \infty}e^{st}F(s)ds </math>

===Hoán Chuyển Fourier===
Phép biến đổi Fourier là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số '''f(t)''', được định nghĩa cho tất cả số thực '''t'' ≥ 0''', là hàm số '''F(jω)''', Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởi:
: <math>\mathcal{L}\{f(t)\}= F(s) = \int\limits_{0^-}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt</math>
Trong đó 
: <math>s</math> là biến số phức cho bởi <math>s = \sigma+j\omega</math>
: <math>s</math> là miền tần số và có đơn vị là nghịch đảo của giây (second) <math>s^{-1}</math>

===Ứng dụng===
====Hoán Chuyển Laplace====
:{|width=100%
|-
| '''Hàm số hệ thời gian '''|| '''Hàm số tương dương hệ số Laplace''' || '''Hàm số tương dương hệ số Fourier'''
|-
| <math>f(t) --> F(s) </math> || <math>\mathcal{L}\{f(t)\}= F(s) = \int\limits_{0^-}^{\infty} f(t)e^{-s t}dt</math> || <math>\mathcal{L}\{f(t)\}= F(s) = \int\limits_{0^-}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt</math>
|-
| <math>\frac{d^n}{dt^n} f(t)</math> || <math>s^n f(t)</math> || <math>j \omega ^n f(t)</math>
|-
| <math>\int^n f(t) dt^n</math> || <math>-s ^n f(t)</math> || <math>-j \omega ^n f(t)</math>
|-
|}

====Thí dụ====
:{|width=100%
|-
| '''Công cụ điện '''  || '''Hàm số hệ thời gian '''|| '''Hàm số tương dương hệ số Laplace'''
|-
| Điện thế tụ điện || <math>v_C = \frac{1}{C} \int i(t) dt</math> || <math>- \frac{1}{C} s i(t)</math>
|-
| Dòng điện tụ điện || <math>i_C = C \frac{d}{dt} v(t)</math> || <math>sC v(t)</math>
|-
| Điện thế cuộn từ || <math>v_L = L \frac{d}{dt} i(t) dt</math> || <math>sL i(t)</math>
|-
| Dòng điện cuộn từ || <math>i_L = \frac{1}{L} \int v(t)</math> || <math>-\frac{1}{L} s v(t)</math>
|-
|}