Xem mã nguồn của Sách toán/Đạo hàm

[[Thể loại:Sách toán]]
Đạo Hàm là một phép toán giải tích dùng trong việc tìm tổng biến đổi hàm số toán '''f(x)''' trên các khoảng thời gian '''∆x = x - x<sub>o</sub>''' càng nhỏ gần như không. Một định nghỉa khác là phép toán tìm độ dóc của một hình có hàm số toán f(x) 

==Tính chất==
===Ký hiệu===
Phép toán đạo hàm của hàm số có các dạng ký hiệu sau

:{|width=100%
|-
| '''Ký hiệu Chuẩn ''' || '''Ký hiệu Leibitz '''
|-
| <math>\frac{d}{dx} f(x) </math>  || <math> f^'(x)</math>
|-
|}

===Phép toán===
Với mọi hàm số f(x), đạo hàm của hàm số được tính theo công thức bên dưới
 <math>\frac{d}{dx} f(x) = f^'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \sum \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} </math>

Với
:[[File:Slope_picture.svg|120px]]
Thay đổi biến số y
: <math>\Delta y =  \Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x)</math> 
Thay đổi biến số x
: <math>\Delta x =  (x+\Delta x) - (x)</math> 
Biến số hàm số
: <math>\frac{\Delta y}{\Delta x} =  \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{(x+\Delta x) - (x)} </math>
:[[Hình:Integral as region under curve.png|150px]] 
Tổng biến số hàm số
:  <math>\sum \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}</math>
Giới hạn tổng biến số hàm số
: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \sum \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}</math>
Đạo hàm hàm số
:<math>\frac{d}{dx} f(x) = f^'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \sum \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}</math>

===Công thức toán đạo hàm===
:{|width=100%
|-
| '''Hàm số , f(x)''' || '''Đạo hàm hàm số f<sup>'</sup>(x)''' || '''Giá trị ||
|-
| Đạo hàm hằng số || <math>\frac{d}{dx} c</math>||  <math>0</math>
|-
| Đạo hàm tích hằng số với biến số || <math>\frac{d}{dx} cx</math>||  <math>c</math>
|-
| Đạo hàm lũy thừa x || <math>\frac{d}{dx} cx^n</math>||  <math>cnx^{n-1}</math>
|-
| Đạo hàm lũy thừa x || <math>\frac{d}{dx} x^n</math>||  <math>nx^{n-1}</math>
|-
| Đạo hàm lũy thừa e || <math>\frac{d}{dx} e^{x}</math>||  <math>\frac{d}{dx} e^{x}</math>
|-
| Đạo hàm lũy thừa n|| <math>\frac{d}{dx} n^x</math>||  <math>\frac{d}{dx} n^x Ln n</math>
|-
| Đạo hàm Ln || <math>\frac{d}{dx} Ln x</math>||  <math>\frac{d}{dx} \frac{1}{x}</math>
|-
| || <math>\cos x</math>||  <math>- \sin x</math>
|-
||| <math>\sin x</math>||  <math>\cos x</math>
|-
||| <math>\tan x</math>||  <math>\sec^2x</math>
|-
||| <math>\cot x</math>||  <math>-\csc^2x</math>
|-
||| <math>\sec x</math>||  <math>\sec x \tan x</math>
|-
||| <math>\csc x</math>||  <math>-\csc x \cot x</math>
|-
| || <math>\cos^{-1} x</math>||  <math>-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} </math>
|-
| || <math>\sin^{-1} x</math>||  <math>\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
| || <math>\tan^{-1} x</math>||  <math>\frac{1}{1+x^2}</math>
|-
| || <math>\cot^{-1} x</math>||  <math>-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
| || <math>\sec^{-1} x</math>||  <math>\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
| || <math>\csc^{-1} x</math>||  <math>-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
| || <math>\sinh x  </math> || <math> \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math>
|-
||| <math>\cosh x </math> || <math> \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>
|-
||| <math>\tanh x </math> || <math>{\operatorname{sech}^2\,x}</math>
|-
||| <math>\operatorname{sech}\,x</math> || <math> - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x</math>
|-
||| <math>\operatorname{csch}\,x </math> || <math> -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math>
|-
||| <math>\operatorname{coth}\,x  </math> || <math>-\,\operatorname{csch}^2\,x</math>
|-
| || <math>\operatorname{arsinh}\,x </math> || <math> { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math>
|-
| || <math>\operatorname{arcosh}\,x </math> || <math> {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}</math>
|-
| ||  <math>\operatorname{artanh}\,x </math> || <math> { 1 \over 1 - x^2}</math>
|-
| || <math>\operatorname{arsech}\,x </math> || <math> -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
| || <math>\operatorname{arcsch}\,x</math> || <math> -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math>
|-
| || <math>\operatorname{arcoth}\,x </math> || <math> { 1 \over 1 - x^2}</math>
|-
|}

===Quy luật toán đạo hàm===

:{|width=100%
|-
| '''Quy luật toán đạo ham''' || '''Công thức '''
|-
| [[Đạo hàm tổng 2 hàm số]] || <math>(f+g)^' = f^' + g^'</math> || <math>\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)</math>
|-
| <br>[[Đạo hàm hiệu 2 hàm số]]  || <br><math>(f-g)^' = f^' - g^'</math> || <math>\frac{d}{dx}[f(x)-g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx} g(x)</math>
|-
| <br>[[/Đạo hàm tích 2 hàm số/]] || <br><math> (fg)' = f' g + f g'.\,</math> || <math>\frac{d}{dx}[f(x) \times g(x)] = g(x) \frac{d}{dx} f(x)  + f(x) \frac{d}{dx} g(x) </math>
|-
| <br>[[Đạo hàm thương 2 hàm số]]  || <br><math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math> || <math>\frac{d}{dx}[f(x) / g(x)] = \frac{g(x) \frac{d}{dx} f(x)  + f(x) \frac{d}{dx} g(x) }{g(x)^2}</math>
|-
| <br>[[Đạo hàm hàm số lủy thừa hàm số]]  || <br><math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad</math> || 
|-
| <br>[[Đạo hàm Ln]]  || <br><math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math> || <math>\frac{d}{dx} Lnf(x) = \frac{\frac{d}{dx}Ln f(x) }{Ln f(x)}</math> 
|-
|  <br>[[Đạo hàm hàm số phức]] || <br><math>(f \circ g)' = (f' \circ g)g'.\,</math> 
|-
|  <br>[[Đạo hàm hàm số nghịch]] || <br><math>(\frac{1}{f})^' = -\frac{f'}{f^2}.\,</math> || <math>\frac{d}{dx} \frac{1}{f(x)}=-\frac{1}{f(x)^2} \frac{d}{dx} f(x)</math>
|-
| <br>[[Đạo hàm hàm số ngược]]  || <br><math>g' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}.\,</math> 
|-
| <br>[[/Đạo hàm hàm số kép/]] || <math>\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}</math>  || <math>\frac{d}{x} f(g(x)) = \frac{df(x)}{dg(x)} \frac{dg(x)}{d(x)}</math>
|-
|}

===Hoán chuyển đạo hàm===
Hoán chuyển đạo hàm được thực hiện như sau

:{|width=100%
|-
| '''Hoán chuyển '''||  '''Ký hiệu ''' || '''Hoán chuyển Laplace '''|| '''Hoán chuyển Fourier'''
|-
| Toán Đạo hàm  || <math>\frac{d^n}{dx^n}</math> || <math>s^n</math> || <math>j \omega^n</math>
|-
| Toán Đạo hàm hàm số  || <math>\frac{d^n}{dx^n} f(x)</math> || <math>s^n f(x)</math> || <math>j \omega^n f(x)</math>
|-
|}

==Ứng dụng toán đạo hàm==
===Chuyển động ===
Chuyển động cong v(t) 
: <math>v = v(t) </math> 
: <math>a=\frac{d}{dt}v(t)</math> 

Chuyển động cong s(t) 
:  <math>s = s(t)</math>
:  <math>v = \frac{d}{dt}s(t)</math>
: <math>a=\frac{d}{dt}v   = \frac{d}{dt} \frac{d}{dt}s(t)  = \frac{d^2}{dt^2} s(t)</math>

Chuyển động ngang
: <math>v = v </math> 
: <math>a=\frac{d}{dt}v = 0</math>

Chuyển động dọc 
: <math>v = t </math> 
: <math>a=\frac{d}{dt}t = 1</math>

Chuyển động nghiêng không cắt trục tung 
: <math>v = at </math> 
: <math>a=\frac{d}{dt}at = a</math>

Chuyển động nghiêng cắt trục tung 
: <math>v = at + v_o </math> 
: <math>a=\frac{d}{dt} (at+v_o) = a</math>

===Phương trình và hàm số suy giảm===
Phương trình suy giảm có dạng tổng quát
: <math>a \frac{d}{dx} f(x) + b  f(x) = 0</math>
Dùng hoán chuyển Laplace ta có
: <math> s f(x)  + \frac{b}{a} f(x) = 0</math>
: <math> s= -\frac{b}{a}</math>
Giải phương trình trên cho nghiệm số
: <math> f(x)= Ae^{sx} = Ae^{-\frac{b}{a}x} = Ae^{-\alpha x}</math>

===Phương trình và hàm số sóng sin===
====Phương trình và hàm số sóng sin  đều====
Phương trình sóng sin  đều có dạng tổng quát
: <math>a \frac{d^n}{dx^n} f(x) + b f(x) = 0</math>
Dùng hoán chuyển Laplace ta có
: <math> s^n f(x) + \frac{b}{a} f(x) = 0</math>
: <math> s^n = - \frac{b}{a}</math>
: <math> s =  \sqrt[n]{- \frac{b}{a}} = \pm j  \sqrt[n]{\frac{b}{a}} = \pm j \omega</math>
Giải  phương trình đạo hàm trên cho nghiệm số
: <math> f(x) = A e^{st} = A e^{\pm j \omega t} = A sin \omega t</math> . 
Với 
: <math>\omega = \sqrt[n]{\frac{b}{a}} </math>
: <math>n </math> ≥ 2

:[[Tập_tin:Wave.png|200px]]

====Phương trình sóng sin không đều====
Phương trình sóng sin không đều có dạng tổng quát
: <math>a \frac{d^2}{dx^2} f(x) + b \frac{d}{dx} f(x) + c f(x) = 0</math>
Dùng hoán chuyển Laplace ta có
: <math> s^2 f(x) + \frac{b}{a} sf(x) + \frac{c}{a} f(x) = 0</math>
: <math> s^2 + 2 \alpha s + \beta = 0</math>
Giải  phương trình trên cho nghiệm số là một hàm số sóng sin
:{|width=100% 
|-
| <math>s </math> || <math>\alpha, \beta</math> || <math>f(x) = Ae^{sx}</math>
|-
| <math>-\alpha</math> || <math>\alpha</math> = <math>\beta</math> || <math>f(x)  = Ae^{-\alpha x} = A(\alpha)</math>
|-
|<math>-\alpha \pm \lambda</math> || <math>\alpha</math> < <math>\beta</math> || <math>f(x)  = Ae^{(-\alpha \pm \lambda) x} = A(\alpha) e^{\lambda x} + A(\alpha) e^{-\lambda x}</math>
|-
|<math>-\alpha \pm j \omega</math> || <math>\alpha</math> > <math>\beta</math> || <math>f(x)  = Ae^{(-\alpha \pm j \omega)x} = A(\alpha) sin \omega</math>
|}

: <math> \alpha = \frac{b}{2a}</math>
: <math> \beta = \frac{c}{a}</math>
: <math> \lambda = \sqrt{\alpha - \beta}</math>
: <math> \omega= \sqrt{ \beta - \alpha}</math>