Xem mã nguồn của Sách đại số/Số phức

==Số phức==
Trong đại số, Số phức được biểu diển dưới dạng toán tổng của một Số thực với một số ảo

===Ký hiệu===
Số phức có ký hiệu 
: <math>Z</math> 

;[[File:Complex_conjugate_picture.svg|150px]]

Số phức 
: <math>Z = x + j y = z (cos \theta + j sin \theta) = z e^{j\theta}</math>
: <math>Z = Z \angle \theta = \sqrt{x^2+y^2} \angle tan^{-1} \frac{y}{x}</math> 

Số phức nghịch
: <math>Z = x -j y = z (cos \theta - j sin \theta) = z e^{-j\theta}</math>
: <math>Z = Z \angle {- \theta} = \sqrt{x^2+y^2} \angle -tan^{-1} \frac{y}{x}</math>


===Toán 2 số phức khác biệt===
====Dạng x,y====
Với 2 số phức có dạng 
: <math>Z = x+jy = z(cos \theta + j sin \theta) = ze^{j\theta}  </math>
: <math>Z^* = x-jy = z(cos \theta - j sin \theta) = ze^{-j\theta}</math>

Ta có các phép toán số phức sau
: <math>Z + Z^* = 2x = 2zcos \theta = z(e^{j\theta} + e^{-j\theta})</math>
: <math>Z - Z^* = j2y = j2zsin \theta = z(e^{j\theta} - e^{-j\theta})</math>
: <math>Z \times Z^* = x^2-y^2 = cos^2 \theta - sin^2 \theta = z^2</math>
: <math>\frac{Z}{Z^*} = \frac{x^2-y^2}{x-jy} = \frac{cos^2 \theta - sin^2 \theta}{cos \theta - j sin \theta} = e^{j2\theta}</math>

Từ trên, ta có
:<math>x=cos \theta=\frac{Z+Z^*}{2}=\frac{Z}{2}(e^{j\theta} + e^{-j\theta})</math>
:<math>jy=jsin \theta=\frac{Z-Z^*}{2}=\frac{Z}{2}(e^{j\theta} - e^{-j\theta})</math>
:<math>Z=Z^{*} e^{j2\theta} = \frac{Z^2}{Z^*}</math>

====Dạng X θ====
Với 2 số phức khác biệt có dạng
:<math>Z_1 = |Z_1| \angle \theta_1 </math>
:<math>Z_2=|Z_2| \angle \theta_2 </math>


Phép toán 2 số phức khác biệt
# <math>|Z_1| \angle \theta_1 + |Z_2| \angle \theta_2 = </math>
# <math>|Z_1| \angle \theta_1 - |Z_2| \angle \theta_2 = </math>
# <math>|Z_1| \angle \theta_1 \times |Z_2| \angle \theta_2 = Z_1 \times Z_2 \angle (\theta_1 + \theta_2)</math>
# <math>|Z_1| \angle \theta_1 / |Z_2| \angle \theta_2 = \frac{Z_1}{Z_2} \angle (\theta_1 - \theta_2)</math>

===Toán 2 số phức thuận và nghịch===
====Dạng x y ====
Với 2 số phức thuận nghịch
: <math>Z = (a + ib) = z (\cos \theta + i \sin \theta)</math>
: <math>Z^* = (a - ib)= z (\cos \theta - i \sin \theta)</math>
Phép toán 2 số phức khác biệt
# <math>(a + ib) + (a - ib) = 2a </math>
# <math>(a + ib) - (a - ib) = i2b</math>
# <math>(a + ib) \times (a - ib) = a^2 - b^2 </math>
# <math>\frac{(a + ib)}{(a - ib)} = \frac{(a + ib)}{(a - ib)} \frac{(a - ib)}{(a - ib)} = \frac{(a^2 - b^2)}{(a - ib)^2}</math>

Từ trên
:<math>a = \frac{Z+Z^*}{2} = \cos \theta</math> 
:<math>b = \frac{Z+Z^*}{j2} = \sin \theta</math>

:<math>a + b = \frac{Z \times Z^*}{a-b}</math> 
:<math>a - b = \frac{Z \times Z^*}{a+b}</math> 

====Dạng Z θ====
Với 2 số phức thuận và nghịch
: <math>Z = |Z| \angle \theta </math>
: <math>Z^* = |Z| \angle -\theta </math>
Phép toán 2 số phức khác biệt
: <math>Z \times Z* = |Z| \angle \theta \times |Z| \angle -\theta = |Z|^2 \angle 0 </math>
: <math>\frac{Z}{Z*} = \frac{|Z| \angle \theta}{|Z| \angle -\theta} = 1 \angle 2 \theta </math>

==Số ảo==
Số ảo là một phần tử của Số phức có giá trị bằng căn của trừ 1. Số ảo có ký hiệu 
:<math>i</math> hay <math>j</math> 

===Dạng số ảo===
[[/Số ảo thuận/]] 
: <math>j = \sqrt{-1}</math>
[[/Số ảo nghịch/]] 
: <math> - j  = \frac{1}{j} =  j ^{-1}</math>

===Toán số ảo===
:{|width=100%
|-
| Cộng trừ nhân chia 2 số ảo || 
<br><math>j + j = 2j</math>
<br><math>j - j = 0</math>
<br><math>j \times j = j^2 = -1</math>
<br><math>\frac{j}{j}= 1</math>
<br>
<br><math>j + (-j) = 0</math>
<br><math>j - (-j) = 2j</math>
<br><math>j \times -j = -j^2 = 1</math>
<br> <math>\frac{j}{-j}= -1</math>
|-
| Lủy thừa số ảo nguyên dương || 
<br><math>j^0 = 1</math>
<br><math>j^1 = j </math>
<br><math>j^2 = -1</math>
<br><math>j^3 = -j</math>
<br>Từ trên, ta có
<br> <math>j^n = \pm j</math>  với <math>n = 2m+1 </math> 
<br> <math>j^n = \pm 1</math> với <math>n = 2m</math>
|-
| Lủy thừa số ảo nguyên âm || 
<br><math>(-j)^0 = 1</math>
<br> <math>(-j)^1 = -j</math>
<br><math>(-j)^2 = -1</math>
<br><math>(-j)^4 = j</math>
<br>Từ trên, ta có
<br><math>(-j)^n = \pm 1</math>  với <math>n = 2m </math> 
<br><math>(-j)^n = \pm j</math> với <math>n = 2m+1</math>
|-
|}