Xem mã nguồn của Sách đại số/Số đại số/Hằng số/Hằng số e


{{mvar|e}} thỉnh thoảng còn được gọi là '''số Euler''' theo tên của nhà toán học người birminh ham[[Leonhard Euler]] (không nên nhầm lẫn với [[hằng số Euler–Mascheroni]] {{math|γ}}, còn được gọi tắt là ''hằng số Euler''), hoặc '''hằng số Napier'''. Tuy nhiên, ký hiệu {{mvar|e}} của Euler được cho là đã được giữ lại để vinh danh ông.<ref name="mathworld">{{chú thích web|url=http://mathworld.wolfram.com/e.html|title=e|last=Sondow|first=Jonathan|work=[[MathWorld|Wolfram Mathworld]]|publisher=Wolfram Research|access-date = ngày 2 tháng 7 năm 2020}}</ref> Hằng số này được tìm ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ [[Jacob Bernoulli]] khi nghiên cứu về lãi kép.<ref name="Pickover">{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC|title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics|last1=Pickover|first1=Clifford A.|publisher=Sterling Publishing Company|year=2009|isbn=978-1-4027-5796-9|edition=|location=|page=166|pages=}} [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA166 Trích tr. 166]</ref><ref name=":3">{{Chú thích web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e/|tựa đề=The number {{mvar|e}}|họ=O'Connor|tên=John J.|họ 2=Edmund F.|tên 2=Robertson|năm=2001|website=[[Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor]]|location=[[Đại học St. Andrews]]|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20200627202316/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e/|ngày lưu trữ=2020-06-27|url-status=live|ngày truy cập=2021-05-16}}</ref>

Số {{mvar|e}} có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, [[Pi|{{pi}}]] và [[Đơn vị ảo|{{mvar|i}}]]. Cả năm số này đều đóng vai trò không thể thiếu trong toán học và cùng xuất hiện trong một phương trình của [[đồng nhất thức Euler]]. Giống như hằng số {{pi}}, {{mvar|e}} là một [[số vô tỉ]] (không thể biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên) và là [[số siêu việt]] (không phải là nghiệm của một phương trình [[đa thức]] khác không với hệ [[số hữu tỉ]]). Giá trị của {{mvar|e}} đến 50 chữ số thập phân là:{{block indent|{{gaps|2,71828|18284|59045|23536|02874|71352|66249|77572|47093|69995...}} {{OEIS|A001113}}.}}

== Lịch sử ==
Hằng số {{mvar|e}} được liên hệ lần đầu tiên vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong công trình của [[John Napier]] về logarit, nhưng lại không nhắc đến trực tiếp về {{mvar|e}} mà chỉ liệt kê danh sách các logarit được tính từ nó.<ref name=":3" /> Bảng này được thừa nhận là do [[William Oughtred]] viết ra. [[Jacob Bernoulli]] đã tìm ra chính hằng số {{mvar|e}} vào năm 1683 khi tìm giá trị của biểu thức<ref name="Bernoulli, 1690">Jacob Bernoulli đã xét bài toán về cộng gộp lãi suất liên tục, dẫn đến một chuỗi biểu thức cho ''e''. Xem: {{Chú thích tạp chí|last=Bernoulli|first=Jacob|date=1690|title=Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685|trans-title=Một vài câu hỏi về lãi suất, với lời giải của một bài toán về trò chơi may mắn, đưa ra trong Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), vào năm (anno) 1685. **|url=|journal=Acta eruditorum|volume=|pages=219–223|via=}} [https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false Ở trang 222], Bernoulli đặt câu hỏi: ''"Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"'' (Đây là một vấn đề dạng khác: Câu hỏi là, nếu một người cho vay muốn đầu tư [một] lượng tiền nhất định [để] sinh lãi, để nó cộng dồn dần lên, sao cho [tại] bất kỳ thời điểm nào [nó] nhận được [một] phần tỷ lệ với lãi suất hàng năm; người đó sẽ bị nợ bao nhiều [vào] cuối năm?) Bernoulli xây dựng một chuỗi lũy thừa để giải quyết bài toán trên rồi viết: ''" … quæ nostra serie [biểu thức toán học của một chuỗi hình học] &c. major est. … si ''a''=''b'', debebitur plu quam 2½''a'' & minus quam 3''a''."'' (… mà chuỗi của ta [một chuỗi hình học] lớn hơn [so với]. … nếu ''a''=''b'', [người cho vay] sẽ bị nợ nhiều hơn 2½''a'' và ít hơn 3''a''.) Nếu ''a''=''b'', chuỗi lũy thừa được đưa về chuỗi ''a'' × ''e'', nên 2,5 < ''e'' < 3. (** Có liên hệ đến bài toán mà Jacob Bernoulli đặt ra và xuất hiện trong ''Journal des Sçavans'' năm 1685 ở cuối [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN trang 314.])</ref><ref>{{chú thích sách|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|title=A History of Mathematics|author1=Boyer|first=Carl B.|author2=Merzbach|first2=Uta C.|publisher=Wiley|year=1991|isbn=0-471-09763-2|edition=2 |location=|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/419 419]|pages=}}</ref>

: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>

Hằng số này được sử dụng lần đầu tiên với ký hiệu là {{math|''b''}} trong bức thư của [[Gottfried Leibniz]] gửi [[Christiaan Huygens]] vào năm 1690 và 1691.<ref>''XXIII. Leibniz an Huygens'', ngày 27 tháng 1 năm 1691 trong: {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/derbriefwechselv00leibuoft|title=Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern|last=|first=|publisher=Mayer & Müller|year=1899|isbn=|editor-last=Gerhardt|editor-first=C. J.|location=Berlin|pages=633|quote=... {{mvar|b}} estant une grandeur constante, dont le logarithme est 1, et le logarithme de 1 estant 0.}}</ref> [[Leonhard Euler]] trong thư gửi [[Christian Goldbach]] vào ngày 25 tháng 11 năm 1731 đã gọi chữ cái {{mvar|e}} là cơ số của logarit tự nhiên.<ref>''Lettre XV. Euler à Goldbach'', ngày 25 tháng 11 năm 1731 trong: {{Chú thích sách|title=Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle|last=|first=|publisher=|year=1843|isbn=|editor-last=Fuss|editor-first=Paul H.|volume=1|location=St. Petersburg, Nga|pages=56–60|trans-title=Thư từ toán học và vật lý của một số nhà hình học nổi tiếng thế kỷ 18}} (đặc biệt xem [https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58#v=onepage&q&f=false tr. 58.]) Trích tr. 58: ''"… (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), …"'' (…(e ký hiệu cho một số mà logarit hyperbol [tự nhiên] bằng 1)…)</ref><ref>{{chú thích sách|title=Theory of Complex Functions|url=https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm|last=Remmert|first=Reinhold|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1991|isbn=978-0-387-97195-7|location=|page=[https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm/page/n156 136]|pages=}}</ref> Euler bắt đầu sử dụng chữ {{mvar|e}} để ký hiệu cho hằng số vào khoảng 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của [[súng thần công]], và {{mvar|e}} chỉ xuất hiện trong xuất bản phẩm lần đầu vào năm 1736 trong cuốn ''Mechanica'' của ông.<ref name="Meditatio">{{Chú thích tạp chí|last=Euler|first=Leonhard|date=1862|title=Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta|url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/|journal=Opera Postuma|volume=2|pages=800–804|via=}}</ref><ref>{{Chú thích sách|title=Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita|last=Euler|first=Leonhard|publisher=Viện Hàn lâm Khoa học|year=1736|isbn=|volume=1|location=St. Petersburg (Petropoli), Nga|pages=68}} [https://books.google.com/books?id=qalsP7uMiV4C&pg=PA68#v=onepage&q&f=false Trích chương 2, hệ quả 11, đoạn 171, tr. 68:] ''Erit enim <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> seu <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math> ubi ''e'' denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1.'' (Do đó nó [''c'', vận tốc] sẽ là <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> hay <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math>, với ''e'' ký hiệu cho một số mà logarit hyperbol [tự nhiên] bằng 1.)</ref> Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ {{math|''c''}} trong những năm sau đó,<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=DeL_lS7FS0UC|title=A Treatise of Mechanics, Theoretical, Practical, and Descriptive: Containing the theory of statics, dynamics, hydrostatics, hydrodynamics, and pneumatics|last=Gregory|first=Olinthus|publisher=Rivington|year=1815|isbn=|edition=3 |location=London|page=548|pages=|quote=To determine {{mvar|t}} in terms of {{mvar|s}}, put {{mvar|c}} = 2.718281828;...}}</ref><ref>{{chú thích sách|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.358121|title=Traité de mécanique céleste|last=Laplace|first=Pierre-Simon|publisher=|year=1805|isbn=|volume=4|location=Paris|pages=243|quote=... {{mvar|c}} étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité,...|author-link=Pierre-Simon Laplace}}</ref> nhưng chữ {{mvar|e}} dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.

Trong toán học, cách phổ biến nhất là viết hằng số thành chữ "{{mvar|e}}" in nghiêng, nhưng tiêu chuẩn [[ISO 80000-2]] khuyến nghị sắp chữ các hằng số theo kiểu thẳng đứng như các chữ cái thông thường.<ref>{{citation|chapter-url=https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf|title=International Standard ISO 80000-2|chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology|edition=1 |date=ngày 1 tháng 12 năm 2009|at=Section 3, Variables, functions, and operators, tr.&nbsp;1}}</ref>

== Ứng dụng ==

=== Lãi kép ===
[[Tập tin:Compound Interest with Varying Frequencies.svg|nhỏ|350x350px|Kết quả khi nhận lãi suất 20% mỗi năm trên khoản đầu tư 1.000 đô la theo nhiều chu kỳ tính lãi khác nhau]]
[[Jacob Bernoulli]] tìm ra hằng số {{mvar|e}} vào năm 1683 khi nghiên cứu một bài toán về lãi kép:<ref name=":3" />{{quote|Một tài khoản có số dư 1 đô la và nhận 100% lãi suất mỗi năm. Nếu lãi suất được tính một lần thì đến cuối năm, số dư của tài khoản đó là 2 đô la. Điều gì sẽ xảy ra khi lãi suất được tính và thanh toán thường xuyên hơn trong năm?|sign=|source=}}Nếu lãi được tính hai lần trong năm thì lãi suất cho mỗi 6 tháng sẽ là 50%, do đó 1 đô la ban đầu được nhân hai lần cho 1,5 để có {{nowrap|1=1,00 × 1,5<sup>2</sup> = 2,25}} đô la vào cuối năm. Khi tính lãi theo quý thì ta có {{nowrap|1=1,00 × 1,25<sup>4</sup> = 2,4414…}} đô la, còn tính lãi theo tháng được {{nowrap|1=1,00 × (1 + 1/12)<sup>12</sup> = 2,613035…}} đô la. Nếu có {{math|''n''}} khoảng thời gian tính lãi thì lãi suất trên mỗi khoảng là {{math|100%/''n''}} và [[số dư]] vào cuối năm là 1,00 × {{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup>}}.

Bernoulli nhận thấy chuỗi này tiến dần về một [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]] với {{math|''n''}} càng lớn và khoảng thời gian tính lãi càng nhỏ. Tính lãi theo tuần ({{math|1=''n'' = 52}}) được 2,692597... đô la, còn tính lãi theo ngày ({{math|1=''n'' = 365}}) thì được 2,714567... đô la, chỉ nhiều hơn hai xu. Giới hạn khi {{math|''n''}} tăng lên chính là số {{mvar|e}}; khi tính lãi ''liên tục'' thì số dư của tài khoản tiệm cận đến 2,7182818... đô la.

Tổng quát hơn, một tài khoản có số dư ban đầu là 1 đô la và nhận lãi suất hằng năm là {{math|''R''}} thì sau {{math|''t''}} năm sẽ nhận được {{math|''e''<sup>''Rt''</sup>}} đô la khi tính lãi liên tục.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Boyer|first=Lee E.|last2=Hippensteel|first2=Philip J.|last3=Luiz|first3=J. Robert|date=November 1974|title=Mathematics applied in the modern bank|url=https://www.jstor.org/stable/27959856|journal=The Mathematics Teacher|volume=67|issue=7|pages=611–614|via=}} Đặc biệt xem tr. 611–612.</ref> (Ở đây {{math|''R''}} là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, do đó với lãi suất 5% thì {{math|1=''R'' = 5/100 = 0,05}}.)

=== Phép thử Bernoulli ===
[[Tập tin:Bernoulli trial sequence.svg|nhỏ|300x300px|Biểu đồ xác suất ''P'' để một biến cố độc lập với xác suất xảy ra là 1/''n'' không xảy ra sau ''n'' phép thử Bernoulli và so sánh 1 − ''P'' và ''n''. Có thể thấy khi ''n'' tăng thì xác suất để một biến cố với xác suất xảy ra 1/''n'' không xảy ra sau ''n'' lần thử tiệm cận rất nhanh về 1/''e''.]]
Số {{mvar|e}} cũng có ứng dụng trong [[lý thuyết xác suất]], nảy sinh từ một vấn đề không liên quan rõ ràng với [[lũy thừa]]. Giả sử một người chơi một máy đánh bạc {{math|''n''}} lần và xác suất để thắng là một phần {{math|''n''}}. Với {{math|''n''}} lớn (chẳng hạn như một triệu) thì xác suất để người đó thua mọi lần gần bằng {{math|1/''e''}}. Với {{math|1=''n'' = 20}} thì tỉ số này đã gần bằng 1/2,79.

Đó là một ví dụ về [[phép thử Bernoulli]]. Mỗi lần người đó chơi máy thì xác suất để thắng là một trên một triệu. Một triệu lần chơi như thế được mô hình hóa bằng [[phân phối nhị thức]], vốn có liên hệ mật thiết với [[định lý nhị thức]] và [[tam giác Pascal]]. Xác suất để thắng {{math|''k''}} lần trên một triệu lần chơi là

: <math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k\left(1 - 10^{-6}\right)^{10^6-k}.</math>

Đặc biệt, xác suất để người đó không thắng lần nào ({{math|1=''k'' = 0}}) là

: <math>\left(1 - \frac{1}{10^6}\right)^{10^6},</math>

rất gần với giới hạn

: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}.</math>

=== Phân phối chuẩn tắc ===
{{Chính|Phân phối chuẩn}}
[[Phân phối chuẩn]] với trung bình bằng 0 và [[độ lệch chuẩn]] bằng 1 được gọi là ''phân phối chuẩn tắc'' và được cho bởi [[hàm mật độ xác suất]]<ref>{{Harvnb|Grinstead|Snell|1997|p=325}}</ref>

: <math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.</math>

Điều kiện [[phương sai]] bằng 1 (độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số {{Sfrac|1|2}} trong số mũ, và điều kiện tổng diện tích dưới đường cong {{math|''ϕ''(''x'')}} bằng 1 dẫn đến tỷ số <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>. Hàm số này đối xứng quanh {{math|1=''x'' = 0}}, tại đó nó đạt giá trị lớn nhất <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>, và có các [[điểm uốn]] tại {{math|1=''x'' = ±1}}.

=== Hoán vị vô trật tự ===
{{Chính|Hoán vị vô trật tự}}
Một ứng dụng khác của {{mvar|e}}, vốn do Jacob Bernoulli và [[Pierre Raymond de Montmort]] tìm ra, nằm trong bài toán về [[hoán vị vô trật tự]] hay còn gọi là ''bài toán trả mũ''.<ref>{{Chú thích sách|url=http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/amsbook.mac.pdf|title=Introduction to probability theory|last=Grinstead|first=Charles M.|last2=Snell|first2=J. Laurie|publisher=American Mathematical Society|year=1997|isbn=978-0-8218-0749-1|edition=2 |location=|pages=85}}</ref> Có {{math|''n''}} vị khách được mời đến một bữa tiệc và đều phải trả mũ của họ cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào {{math|''n''}} hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được đặt đúng vào hộp của vị khách đó. Câu trả lời là

: <math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>
Khi số vị khách {{math|''n''}} tiến đến vô hạn thì {{math|''p''<sub>''n''</sub>}} tiệm cận về {{math|1/''e''}}. Hơn nữa, số cách xếp mũ vào hộp để biến cố trên xảy ra là {{math|''n''!/''e''}} (làm tròn đến hàng đơn vị) với {{math|''n''}} là số dương.<ref>{{Chú thích sách|title=[[The Art of Computer Programming]]|last=Knuth|first=Donald|publisher=Addison-Wesley|year=1997|isbn=0-201-03801-3|volume=1|location=|pages=183|author-link=Donald Knuth}}</ref>

=== Bài toán kế hoạch tối ưu ===
Một gậy chiều dài {{mvar|L}} bị vỡ thành {{mvar|n}} mảnh có độ dài bằng nhau. Giá trị của {{mvar|n}} để tích các độ dài này lớn nhất là<ref>{{chú thích sách|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|title=Mathematical Constants|author=Finch|first=Steven|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=0-521-81805-2|location=|pages=14}}</ref>

: <math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math> hay <math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor + 1,</math>

vì <math>x^{-1}\ln x</math> đạt giá trị lớn nhất tại <math>x = e</math> ([[bài toán Steiner]], [[E (số)#Các hàm liên quan đến lũy thừa|xem dưới đây]]). Đại lượng <math>x^{-1}\ln x</math> là một độ đo lượng [[Entropy thông tin|thông tin]] thu được từ một biến cố xảy ra với xác suất <math>1/x</math>, do đó [[phép chia]] tối ưu trên xuất hiện trong các bài toán kế hoạch tối ưu, chẳng hạn như [[bài toán thư ký]].

=== Tiệm cận ===
Số {{mvar|e}} xuất hiện khi liên hệ với nhiều bài toán liên quan đến [[tiệm cận]]. Một ví dụ là [[Xấp xỉ Stirling|công thức Stirling]] về tiệm cận của [[Giai thừa|hàm giai thừa]] có sự xuất hiện của cả hai số {{mvar|e}} và [[Pi|{{pi}}]]:<ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/introductiontohi00eves_0/page/356/mode/2up|title=An Introduction to the History of Mathematics|last=Eves|first=Howard Whitley|publisher=Holt, Rinehart & Winston|year=1969|isbn=978-0-03-029558-4|location=|pages=356}}</ref>
: <math>n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Từ đó

: <math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>

== Trong vi tích phân ==
[[Tập tin:Exp derivative at 0.svg|nhỏ|Đồ thị của hàm {{math|''x'' ↦ ''a''{{sup|''x''}}}} với {{math|1=''a'' = 2}} (đường kẻ chấm), {{math|1=''a'' = ''e''}} (đường màu xanh) và {{math|1=''a'' = 4}} (đường nét đứt). Chúng đều đi qua điểm {{math|(0,1)}}, nhưng đường màu đỏ (hệ số góc là {{math|1}}) chỉ là tiếp tuyến của hàm {{math|''e''{{sup|''x''}}}} tại đó.]]
[[Tập tin:Ln+e.svg|phải|nhỏ|Logarit tự nhiên của số {{mvar|e}} hay {{math|ln(''e'')}} bằng {{math|1.}}]]
Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số {{mvar|e}}, đặc biệt trong [[vi tích phân]] là từ các phép tính [[vi phân]] và [[tích phân]] với các [[hàm mũ]] và [[logarit]].<ref name=":1">{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=YdjK_rD7BEkC&pg=PA337|title=Calculus: An intuitive and physical approach|last=Kline|first=Morris|publisher=Courier Dover Publications|year=1998|isbn=0-486-40453-6|location=|pages=337}}</ref> Tổng quát, hàm mũ {{nowrap|{{math|''y'' {{=}} ''a''<sup>''x''</sup>}}}} có đạo hàm được cho bởi [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]]:

: <math>\begin{align}
 \frac{d}{dx}a^x
 &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\
 &= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right).
\end{align}</math>

Giới hạn trong ngoặc ở vế phải độc lập với biến {{nowrap|{{math|''x''}}}} và chỉ phụ thuộc vào cơ số {{nowrap|{{math|''a''}}}}. Khi cơ số đó bằng {{mvar|e}} thì giới hạn trên bằng {{math|1}} nên {{mvar|e}} được định nghĩa tượng trưng bởi phương trình:

: <math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>

Do đó, hàm mũ cơ số {{mvar|e}} rất phù hợp cho việc tính vi tích phân, vì nó giúp đơn giản hóa nhiều phép tính liên quan đến đạo hàm.

Một cách tiếp cận khác đến từ việc tính đạo hàm của logarit cơ số {{math|''a''}} ({{math|log<sub>''a''</sub> ''x''}}) với {{math|''x'' > 0}}:<ref>{{Harvnb|Kline|1998|p=339}}</ref>

: <math>\begin{align}
 \frac{d}{dx}\log_a x
 &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \log_a(x)}{h} \\
 &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \\
 &= \frac{1}{x}\log_a\left(\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}\right) \\
 &= \frac{1}{x}\log_a e,
\end{align}</math>

trong đó đặt {{math|''u'' {{=}} ''h''/''x''}}. Logarit cơ số {{math|''a''}} của {{mvar|e}} bằng 1 nếu {{math|''a''}} bằng {{mvar|e}}, do đó

: <math>\frac{d}{dx}\log_e x = \frac{1}{x}.</math>

Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là [[logarit tự nhiên]] và được ký hiệu là {{math|ln}}, giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm các giới hạn chưa biết.

Như vậy, có hai cách để tìm một số {{math|''a''}} đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ {{math|''a''<sup>''x''</sup>}} bằng với {{math|''a''<sup>''x''</sup>}} rồi [[giải phương trình]] để tìm {{math|''a''}}. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số {{math|''a''}} bằng {{math|1/''x''}} và giải tương tự. Cả hai nghiệm {{math|''a''}} thu được thực chất là ''giống nhau'' và bằng số {{mvar|e}}.

=== Các cách biểu diễn khác ===
{{Xem thêm|#Biểu diễn|Biểu diễn của hàm mũ}}[[Tập tin:Part38figure02.gif|nhỏ|Cả năm vùng được tô màu đều có diện tích bằng nhau và xác định đơn vị của [[góc hyperbol]] dọc theo [[hyperbol]] <math>xy=1</math>.]]
Có nhiều cách biểu diễn số {{mvar|e}}: [[giới hạn của một dãy]], tổng của một chuỗi vô hạn hay các biểu thức liên quan đến [[Tích phân|giải tích tích phân]]. Trên đây, ta đã biết được hai tính chất:

# {{mvar|e}} là [[số thực]] dương duy nhất sao cho <math>\frac{d}{dt}e^t = e^t</math>.
# {{mvar|e}} là số thực dương duy nhất sao cho <math>\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}</math>.

Bốn cách biểu diễn sau cũng được chứng minh là tương tự như trên:{{ordered list|{{mvar|e}} là [[giới hạn của một dãy|giới hạn]]
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>

Tương tự:<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/?id=KVnbZ0osbAkC&printsec=frontcover|title=Calculus|author=Marsden|first=Jerrold E.|last2=Weinstein|first2=Alan|publisher=Springer|year=1985|isbn=978-0-387-90974-5|edition=2 |volume=1|location=|pages=329}}</ref>
:<math>e = \lim_{t\to 0} \left(1 + t \right)^{\frac{1}{t}}</math>
|{{mvar|e}} là tổng của [[chuỗi vô hạn]]
: <math>e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots,</math>

với {{math|''n''!}} là [[giai thừa]] của {{math|''n''}}. (Theo quy ước, <math>{0!} = 1</math>.)|{{mvar|e}} là số thực dương duy nhất sao cho
:<math>\int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1.</math>|Nếu {{math|''f''(''t'')}} là [[hàm mũ]] thì tỉ số <math> \tau = f(t)/f'(t)</math> là không đổi, thỉnh thoảng được gọi là [[hằng số thời gian]] (nghịch đảo của [[tăng trưởng theo cấp số nhân|hằng số tăng trưởng theo cấp số nhân]] hoặc [[phân rã theo cấp số mũ|hằng số phân rã]]). Hằng số thời gian là thời gian để một hàm mũ tăng {{math|''e''}} lần: <math>f(t+\tau) = e f(t)</math>.|start=3}}

== Tính chất ==

=== Vi tích phân ===
[[Hàm mũ]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có [[đạo hàm]] bằng chính nó:
: <math>\frac{d}{dx}e^x = e^x</math>
và do đó cũng có [[nguyên hàm]] bằng chính nó:
: <math>\int e^x\,dx = e^x + C.</math>

=== Bất đẳng thức ===
[[Tập tin:Exponentials vs x+1.pdf|nhỏ|Đồ thị của hàm mũ <math>y = 2^x</math> và <math>y = 4^x</math> cắt đường thẳng <math>y = x + 1</math> lần lượt tại <math>x = 1</math> và <math>x = -1/2</math>. Số <math>e</math> là cơ số duy nhất của hàm mũ sao cho đồ thị <math>y = e^x</math> cắt đường thẳng tại giao điểm duy nhất <math>x = 0</math>. Dễ thấy rằng giá trị của <math>e</math> nằm giữa 2 và 4.]]
{{mvar|e}} là số thực duy nhất sao cho
: <math>\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < e < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+1}</math>
với mọi số dương {{nowrap|{{math|''x''}}}}.<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=C5iH2dczNG4C|title=100 Great Problems of Elementary Mathematics|last1=Dorrie|first1=Heinrich|date=|publisher=Dover|year=1965|isbn=978-0-486-61348-2|location=New York|pages=44–48}}</ref>

Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức
: <math>e^x \ge x + 1</math>
với mọi số thực {{math|''x''}}, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi {{math|''x'' {{=}} 0}}. Hơn nữa, {{math|''e''}} là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức {{math|''a''<sup>''x''</sup> ≥ ''x'' + 1}} đúng với mọi {{math|''x''}}.<ref>Một bài tập giải tích tiêu chuẩn sử dụng [[định lý giá trị trung bình]]; xem {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/calculus01apos/page/250/|title=Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra|last=Apostol|first=Tom M.|publisher=Wiley|year=1967|isbn=978-0-471-00005-1|location=New York|pages=250}} Mục §6.17.41.</ref> Đó là một trường hợp giới hạn của [[bất đẳng thức Bernoulli]].

=== Hàm tựa mũ ===
[[Tập tin:Xth_root_of_x.svg|liên kết=|thế=|nhỏ|250x250px|Giá trị lớn nhất của <math>\sqrt[x]{x} </math> đạt được tại {{nowrap|{{math|''x'' {{=}} ''e''}}}}.]]
[[Bài toán Steiner]] yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số
: <math> f(x) = x^\frac{1}{x}.</math>
Giá trị lớn nhất này đạt được tại {{math|''x'' {{=}} ''e''}}. Để chứng minh, từ bất đẳng thức <math>e^y \ge y + 1</math> ở trên, đặt <math>y = (x - e)/e</math> rồi rút gọn thì ta có <math>e^{x/e} \ge x</math>. Do đó <math>e^{1/e} \ge x^{1/x}</math> với mọi số dương {{math|''x''}}.<ref>{{Harvnb|Dorrie|1965|p=359}}</ref>

Tương tự, {{math|''x'' {{=}} 1/''e''}} là điểm để hàm số
: <math> f(x) = x^x </math>
đạt giá trị nhỏ nhất với {{math|''x''}} là số dương. Tổng quát hơn, hàm số

: <math> f(x) = x^{x^n} </math>

với {{math|''x''}} là số dương đạt giá trị lớn nhất tại {{math|''x'' {{=}} 1/''e''}} khi {{math|''n'' < 0}} và đạt giá trị nhỏ nhất tại {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>−1/''n''</sup>}} khi {{math|''n'' > 0}}.

[[Tetration]] vô hạn

: <math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math> hay <math>{^\infty}x</math>

hội tụ khi và chỉ khi {{math|''e''<sup>−''e''</sup> ≤ ''x'' ≤ ''e''<sup>1/''e''</sup>}} (hay {{math|''x''}} nằm giữa 0,0660 và 1,4447) theo một định lý của [[Leonhard Euler]].<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Euler|first=Leonhard|date=1783|title=De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus|url=http://eulerarchive.maa.org//docs/originals/E532.pdf|journal=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|volume=2|pages=29–51|via=}} In lại trong {{Chú thích sách|title=Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae|last=Euler|first=Leonhard|publisher=Teubner|year=1921|isbn=|location=Leipzig, Đức|pages=350–369}}</ref>

=== Lý thuyết số ===
Số thực {{mvar|e}} là một số vô tỉ. [[Leonhard Euler|Euler]] chứng minh được điều này bằng cách cho thấy [[liên phân số]] của nó có thể được mở rộng ra vô hạn.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Euler|first=Leonhard|date=1744|title=De fractionibus continuis dissertatio|trans-title=Một bài luận về liên phân số|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E071.pdf|journal=Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae|volume=9|pages=98–137|via=}}</ref><ref>{{chú thích web|url=http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf|title=How Euler Did It: Who proved {{mvar|e}} is Irrational?|last=Sandifer|first=C. Edward|date=Feb 2006|publisher=MAA Online|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140223072640/http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf|archivedate = ngày 23 tháng 2 năm 2014 |url-status=|access-date = ngày 2 tháng 7 năm 2020 }} In lại trong {{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA185|title=How Euler Did It|last=Sandifer|first=C. Edward|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=978-0-88385-563-8|location=|pages=185–195}}</ref>{{efn|Xem thêm [[Chứng minh e là số vô tỉ|cách chứng minh]] của [[Joseph Fourier|Fourier]].}} Hơn nữa, theo [[định lý Lindemann–Weierstrass]], {{mvar|e}} là một [[số siêu việt]], có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. [[Charles Hermite]] chứng minh được điều này vào năm 1873.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Hermite|first=Charles|date=1873|title=Sur la fonction exponentielle|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3034n/f18|journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|volume=77|pages=18–24, 74–79, 226–233, 285–293|via=}}</ref>

Có phỏng đoán cho rằng {{mvar|e}} là [[số bình thường]], có nghĩa là khi {{math|''e''}} được biểu diễn trên bất kỳ [[Cơ số|hệ đếm cơ số]] nào thì các chữ số trong hệ đếm đó được phân bố đồng đều nhau (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ chuỗi nào với độ dài cho trước).<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Borel|first=Émile|date=1950|title=Sur les chiffres décimaux de {{sqrt|2}} et divers probléme de probabilites en chaîne|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3182n/f591.item|journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|volume=230|pages=591–593|via=}} Trong bài viết này, Émile Borel đưa ra giả thuyết rằng mọi số đại số vô tỉ, trong đó có số {{Mvar|e}}, đều là số bình thường.</ref>

=== Số phức ===
[[Hàm mũ]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} có thể được viết thành [[chuỗi Taylor]]:<ref name=":2">{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=VHNdAAAAcAAJ|title=Introductio In Analysin Infinitorum|last=Euler|first=Leonhard|publisher=Marc Michel Bousquet & Co.|year=1748|isbn=|volume=1|location=Lausanne, Thụy Sĩ|pages=90}}</ref>

: <math> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>

Vì chuỗi trên hội tụ với bất kỳ giá trị [[Số phức|phức]] nào của {{math|''x''}} nên nó có thể được dùng để mở rộng khái niệm {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} cho số phức. Cùng với chuỗi Taylor cho [[Hàm lượng giác|{{math|sin ''x''}} và {{math|cos ''x''}}]], ta suy ra được [[công thức Euler]] đúng với mọi số phức {{math|''x''}}:

: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>

Trường hợp đặc biệt với {{math|''x'' {{=}} [[pi|π]]}} là [[đồng nhất thức Euler]]:

: <math>e^{i\pi} + 1 = 0,</math>

từ đó suy ra, trong [[nhánh chủ yếu]] của logarit,

: <math>\ln (-1) = i\pi.</math>

Hơn nữa, áp dụng các công thức lũy thừa,

: <math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),</math>

đó chính là [[công thức de Moivre]].

Biểu thức

: <math>\cos x + i \sin x</math>

còn được ký hiệu là {{math|cis(''x'')}}.<ref>{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/Cis.html|tựa đề=Cis|họ=Weisstein|tên=Eric W.|lk tác giả=Eric W. Weisstein|năm=2015|website=[[MathWorld]]|nhà xuất bản=Wolfram Research|năm gốc=2000|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20160127061403/http://mathworld.wolfram.com/Cis.html|ngày lưu trữ=2016-01-27|url-status=live|ngày truy cập=2020-07-18}}</ref>

Ta cũng suy ra được các biểu thức biểu diễn <math>\sin x</math> và <math>\cos x</math> theo các [[hàm mũ]]:

: <math>
 \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad
 \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}.
</math>

=== Phương trình vi phân ===
Họ các hàm số

: <math>y(x) = Ce^x,</math>

với {{mvar|C}} là số thực, là nghiệm của [[phương trình vi phân]]

: <math>y' = y.</math>

== Biểu diễn ==
{{Chính|Danh sách biểu diễn của e}}
Số {{math|''e''}} có thể được biểu diễn thành một số thực theo nhiều cách khác nhau: là một [[Chuỗi (toán học)|chuỗi vô hạn]], một [[tích vô hạn]], một [[liên phân số]] hay [[giới hạn của một dãy]]. Trong số đó, thông dụng nhất là giới hạn

: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>

đã cho ở trên, và chuỗi

: <math> e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math>

có được bằng cách thay {{math|''x'' {{=}} 1}} vào [[chuỗi lũy thừa]] cho hàm mũ {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} ở trên.

Một dạng khác ít phổ biến hơn là [[liên phân số]]<ref>{{Chú thích sách|title=Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought|last=Hofstadter|first=Douglas|publisher=Allen Lane the Penguin Press|year=1995|isbn=0-7139-9155-0|location=London|pages=36}}</ref>

: <math>
 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,..., 1, 2n, 1,...]
</math> {{OEIS|id=A003417}}

hoặc được viết thành

: <math>e = 2 +
\cfrac{1}
 {1 + \cfrac{1}
 {2 + \cfrac{1}
  {1 + \cfrac{1}
 {1 + \cfrac{1}
 {4 + \cfrac{1}
 {1 + \cfrac{1}
 {1 + \ddots}
  }
 }
 }
  }
 }
 }
.
</math>

Nhiều cách biểu diễn khác của {{math|''e''}} dưới dạng chuỗi, dãy số, liên phân số và tích vô hạn cũng đã được tìm ra và phát triển.

=== Biểu diễn ngẫu nhiên ===
Cùng với các biểu thức giải tích chính xác, {{mvar|e}} còn có thể được tính gần đúng thông qua các kỹ thuật ngẫu nhiên. Một cách tiếp cận như thế bắt đầu từ một dãy vô hạn các biến độc lập ngẫu nhiên {{math|''X''<sub>1</sub>}}, {{math|''X''<sub>2</sub>}},... trong một [[Phân phối đều liên tục|phân phối đều]] trên [0, 1]. Gọi {{math|''V''}} là số {{math|''n''}} nhỏ nhất để tổng của {{math|''n''}} biến đầu tiên như vậy lớn hơn 1:

: <math>V = \min\left\{ n \mid X_1 + X_2 + \cdots + X_n > 1 \right\}.</math>

Khi đó [[giá trị kỳ vọng]] của {{math|''V''}} là {{mvar|e}} hay {{math|E(''V'') {{=}} ''e''}}.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Russell|first=K. G.|date=February 1991|title=Estimating the Value of e by Simulation|url=https://www.jstor.org/stable/2685243|journal=The American Statistician|volume=45|issue=1|pages=66–68|doi=10.2307/2685243|jstor=2685243}}</ref>

=== Số chữ số đã biết ===
Số chữ số đã biết của {{mvar|e}} đã gia tăng đáng kể trong vài thập kỷ trở lại đây do sự phát triển của máy tính và thuật toán nói chung.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+Số chữ số thập phân đã biết của {{mvar|e}}
! Năm || Số chữ số || Tính toán thực hiện bởi
|-
| 1690 ||align=right| 1 || [[Jacob Bernoulli]]<ref name = "Bernoulli, 1690"/>
|-
| 1714 ||align=right| 13 || [[Roger Cotes]]<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Cotes|first=Roger|date=1714|title=Logometria|url=|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=29|issue=338|pages=5–45|via=}} [https://archive.is/20140410203227/http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 Trích trang 10]: ''"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, …"'' (Hơn nữa, tỉ số này nằm giữa 2,718281828459… và 1, …)</ref>
|-
| 1748 ||align=right| 23 || [[Leonhard Euler]]<ref name=":2" />
|-
| 1853 ||align=right| 137 || [[William Shanks]]<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=d-9ZAAAAcAAJ&pg=PA89|title=Contributions to Mathematics, comprising chiefly the rectification of the circle to 607 places of decimals|last=Shanks|first=William|publisher=G. Bell|year=1853|isbn=|location=London, Anh|pages=89}}</ref>
|-
| 1871 ||align=right| 205 || William Shanks<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Shanks|first=William|date=1871|title=On the numerical values of ''e'', log<sub>''e''</sub> 2, log<sub>''e''</sub> 3, log<sub>''e''</sub> 5, and log<sub>''e''</sub> 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals|url=https://books.google.com/books?id=sclTAAAAcAAJ&pg=PA27|journal=Proceedings of the Royal Society of London|volume=20|pages=27–29|via=}}</ref>
|-
| 1884 ||align=right| 346 || J. Marcus Boorman<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Boorman|first=J. Marcus|date=October 1884|title=Computation of the Napierian base|url=https://books.google.com/books?id=mG8yAQAAMAAJ&pg=PA204|journal=Mathematical Magazine|volume=1|issue=12|pages=204–205|via=}}</ref>
|-
| 1926 ||align=right| 707 || [[Derrick Henry Lehmer]]<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Lehmer|first=Derrick Henry|date=April 1926|title=On the Value of the Napierian Base|url=https://www.jstor.org/stable/2370743|journal=American Journal of Mathematics|volume=48|issue=2|pages=139–143|doi=10.2307/2370743|via=}}</ref>
|-
| 1944 ||align=right| 808 || Peder Pedersen<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Pedersen|first=Peder|date=1944|title=Fortsetzung der Berechnung der Grundzahl {{mvar|e}} der natürlichen Logarithmen bis zur 808. Dezimalstelle|url=|journal=Meddelelse|location=Đan Mạch|publisher=Geodætisk Institut|volume=17|pages=|via=}}; 21 tr. Bình duyệt trong {{Chú thích tạp chí|date=April 1946|title=Recent Mathematical Tables|url=https://www.jstor.org/stable/2002534|journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation|publisher=American Mathematical Society|volume=2|pages=68–85|doi=10.2307/2002534|jstor=2002534|via=}} (đặc biệt xem tr. 68–69)</ref>
|-
| 1949 ||align=right| 2.010 ||[[John von Neumann]] (trên [[ENIAC]])<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Reitwiesner|first=George W.|date=January 1950|title=An ENIAC Determination of π and e to more than 2000 Decimal Places|url=https://www.jstor.org/stable/2002695|journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation|volume=4|issue=29|pages=11–15|doi=10.2307/2002695|jstor=2002695}}</ref>
|-
| 1961 ||align=right| 100.265 ||[[Daniel Shanks]] và [[John Wrench]]<ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.">{{chú thích tạp chí|author=Shanks|first=Daniel|last2=Wrench|first2=John W.|date=|year=1962|title=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf|journal=Mathematics of Computation|volume=16|issue=77|pages=76–99 (78)|doi=10.2307/2003813|jstor=2003813|quote=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|via=}}</ref>
|-
| 1978 ||align=right| 116.000 ||[[Steve Wozniak]] trên [[Apple II]]<ref name="wozniak198106">{{chú thích báo|url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up|title=The Impossible Dream: Computing ''e'' to 116,000 Places with a Personal Computer|author=Wozniak|first=Steve|date=June 1981|work=BYTE|access-date =ngày 3 tháng 7 năm 2020|pages=392}}</ref>
|}
Từ khoảng năm 2010, với sự ra đời của [[máy tính để bàn]] hiện đại tốc độ cao, việc tính toán hàng nghìn tỷ chữ số của {{mvar|e}} trong một khoảng thời gian chấp nhận được là hoàn toàn khả thi. Tính đến ngày 5 tháng 12 năm 2020, {{mvar|e}} đã được tính đến 31,4 nghìn tỷ chữ số thập phân.<ref name=":0">{{chú thích web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records Set by y-cruncher|author=Yee|tên=Alexander|website=numberworld.org|ngày truy cập=2020-07-27}}</ref>