Xem mã nguồn của Sách đại số/Dải số/Tổng dải số/Tổng chuổi số Fourier

Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó của [[Leonhard Euler|Euler]], [[jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]] và [[Daniel Bernoulli]]. Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải [[phương trình truyền nhiệt]], các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm [[1807]] và [[1811]], cuốn ''Théorie analytique de la chaleur'' của ông được công bố vào năm [[1822]]. Theo quan điểm của [[toán học hiện đại]], các kết quả của Fourier có phần không chính thức liên quan đến sự không hoàn chỉnh trong khái niệm hàm số và [[tích phân]] vào đầu thế kỉ XIX. Sau đó, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] và [[Bernhard Riemann|Riemann]] đã diễn đạt lại các công trình của Fourier một cách chính xác hơn và hoàn chỉnh hơn.


Trong [[toán học]], '''chuỗi Fourier''' (được dặt tên theo nhà toán học [[Joseph Fourier]]) của một [[hàm tuần hoàn]] là một cách biểu diễn [[hàm số|hàm]] đó dưới dạng [[phép cộng|tổng]] của các hàm tuần hoàn có dạng ''e''<sup>''jnx''</sup>, trong đó, ''e'' là [[số e|số Euler]] và ''j'' là [[đơn vị ảo|đơn vị]] [[số ảo]].Theo [[công thức Euler]], các chuỗi này có thể được biểu diễn một cách tương đương theo các hàm [[sin]] và hàm [[hàm lượng giác|cos]]. Một cách tổng quát, một chuỗi hữu hạn của các hàm [[lũy thừa]] của số ảo được gọi là một [[chuỗi lượng giác]].

==Tổng chuổi số Fourier==
===Dạng tổng quát===
Dạng tổng quát Tổng chuổi số Fourier của hàm số <math>f(x)</math> có chu kỳ <math>2\pi</math> và số trước biến số <math>a_n</math> and <math>b_n</math>
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\cdots(1)</math> 
Với
:<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) dx</math>
:<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) dx</math>


Hàm số biểu diển bằng Tổng chuổi số Fourier sẻ có dạng tổng quát
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)</math>

=== Dạng sin ===
:<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{n \pi x}{L} </math>
Với
:<math>b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x) \sin \frac{n \pi x}{L}dx</math>

=== Dạng cos===
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{n \pi x}{L}</math>
Với
:<math>a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x) \cos \frac{n \pi x}{L}dx</math>

==Biến đổi Fourier==
===t sang f===
Biến đổi Fourier từ t sang f
:<math>\hat{F}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\ e^{- i 2\pi t f}\,dt</math>... 


Biến đổi Fourier từ f sang t
:<math>F(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{F}(f)\ e^{i 2\pi t f}\,df</math> ...

In the textbooks of universities, the Fourier transform is usually introduced with the variable Angular frequency <math>\omega</math>. In other word, <math>\xi \rightarrow \omega = 2 \pi \xi</math> is substituted to (1) and (2) in the books. In that case, the Fourier transform is written in two different ways.

===t sang ω===
Cho <math>f(x) = (-\infty, \infty)</math> và <math>\int^{\infty}_{-\infty}|f(t)|dt \le M</math>.

Biến đổi Fourier từ t sang ω
:<math>f(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega t}d\omega</math>

Biến đổi Fourier từ ω sang t
:<math>\hat{f}(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t) e^{-i \omega t}dt</math>

== Liên kết ngoài ==
{{thể loại Commons|Harmonic analysis}}

[[Thể loại:Giải tích Fourier]]
[[Thể loại:Biến đổi Fourier]]
[[Thể loại:Chuỗi toán học]]