Xem mã nguồn của Đại số/Phương trình đại số/Giải Định lý Viète

==Định lý Viète==

Trong [[toán học]], '''định lý Viète''' hay '''công thức Viète''' (có khi viết theo phiên âm [[tiếng Việt]] là '''Vi-ét'''), do nhà toán học Pháp [[François Viète]] tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một [[phương trình]] [[đa thức]] (trong [[trường]] [[số phức]]) và các [[hệ số]] của nó.

==Phương trình bậc hai==

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

:Nếu ''x<sub>1</sub> và x<sub>2</sub>'' là hai nghiệm của phương trình

::<math>ax^2+bx+c=0, \, a \neq 0</math>

:thì

::<math>
\begin{cases}
{x_1 x_2 = c/a}\\
{x_1 + x_2 = -b/a}\\
\end{cases}</math>

==Phương trình đa thức bất kỳ==

Cho phương trình:

:<math>a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0, \, a_n \neq 0</math>

Cho ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>'' là ''n'' nghiệm của phương trình trên, thì:

:<math>a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = a (x-x_1) (x-x_2) ... (x-x_n)\,</math>

Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:

:<math>
\begin{cases} 
{a = a_n}\\
{-a (x_1 + x_2 + ... + x_n) = a_{n-1}}\\
{\ldots}\\
{\ldots}\\
{(-1)^{n-1} a (x_1 x_2 ... x_{n-1} + x_1 x_2 ... x_{n-2} x_n + ... + x_2 x_3 ... x_n) = a_1}\\
{(-1)^{n} a (x_1 x_2 ... x_n) = a_0}\\
\end{cases}
</math>

:và trong hàng ''k'' bất kỳ, vế phải của đẳng thức là <math>a_{n-k}\,</math> còn vế trái được tính như sau:

:*<math>(-1)^{n-k} a\,</math>

:nhân với

:*Tổng của: các tích từng cụm ''(n-k)'' các nghiệm của phương trình trên.

Trường hợp phương trình bậc 2 là các công thức trên, với hai vế chia đều cho ''a = a<sub>2</sub>''

===Thí dụ phương trình bậc 3===
Nếu ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>'' là nghiệm của phương trình

:<math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\,</math>

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho ''a<sub>3</sub>'' tức ''a'', và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

:<math>
\begin{cases}
{x_1 + x_2 + x_3 = -b/a}\\
{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = c/a}\\
{x_1 x_2 x_3 = -d/a}\\
\end{cases}</math>

===Thí dụ phương trình bậc 4===
Nếu ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, x<sub>4</sub>'' là nghiệm của phương trình

:<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\,</math>

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho ''a<sub>4</sub>'' tức ''a'', và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

:<math>\begin{cases}
{x_1 + x_2 + x_3 + x_4= -b/a}\\
{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = c/a}\\
{x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -d/a}\\
{x_1 x_2 x_3 x_4 = e/a}\\
\end{cases}</math>

==Áp dụng==
* Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm [[số nguyên]] (nếu có) của phương trình. Thí dụ: Có thể nhẩm tính phương trình ''x<sup>2</sup> - 5x + 6 = 0'' có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2<math>.\,</math>3 = 6.
* Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympiad toán học.

[[Thể loại:Phương Trình Đại Số]]